Espacio escalar QFT Fock

Quiero demostrar la siguiente relación del producto normal pedido:

$\Omega\equiv:\exp{\left(-\int d^3k~a^{\dagger}(k)a(k)\right)}:=|0\rangle\langle0|.$

Demostré la relación de conmutación$[\Omega,a^{\dagger}(p)]=-a^{\dagger}(p)\Omega$y debo usar la identidad del espacio Fock

$1=|0 \rangle\langle 0|+\sum_{n=1}^{\infty}|p_1,p_2,...,p_n\rangle\langle p_1,p_2,...,p_n|.$

¿Alguna idea de cómo proceder para demostrar la primera relación? Probé esa relación de conmutación porque es útil, ¡pero no sé cómo usarla!

PD:$p$y$k$denota variables de impulso,$|0\rangle$es el estado de vacío y$|p_1,p_2,...,p_n\rangle$es el$n$estado de partícula donde el$i$-partícula tiene$p_i$impulso.