Representación de la función de Bessel del propagador KG similar al espacio

Preliminares : en su texto QFT, Peskin y Schroeder dan el propagador KG (ecuación 2.50)

$$D(x-y)\equiv\langle0|\phi(x)\phi(y)|0\rangle = \int\frac{d^3p}{(2\pi)^3}\frac{1}{2\omega_\vec{p}}e^{-ip\cdot(x-y)},$$

dónde$\omega_\vec{p}\equiv\sqrt{|\vec{p}|^2+m^2}$. Para separaciones similares a la luz, podemos elegir un marco donde$x-y$está puramente en la dirección del tiempo y el propagador se puede poner en la forma (2.51)

$$D(x-y)=\frac{1}{4\pi^2}\int^\infty_m d\omega\sqrt{\omega^2-m^2}e^{-i\omega (y^0-x^0)} \tag{1}\label{timelike_prop},$$

donde uso el$\text{diag }\eta=(-,+,+,+)$convención.

Ahora, uno tiene la siguiente representación integral de la función de Bessel modificada ( http://dlmf.nist.gov/10.32.8 )

$$\begin{align} K_1(z) &= z\int^\infty_1 dt \sqrt{t^2-1} e^{-zt} \\ &= \frac{z}{m^2} \int^\infty_m dt \sqrt{t^2-m^2} e^{-zt/m}, \tag{2}\label{int_rep} \end{align}$$

donde vamos a la segunda línea al reescalar la variable de integración$t \to t/m$. Comparando$\eqref{timelike_prop}$con$\eqref{int_rep}$sugiere

$$D(x-y)=\frac{m}{(2\pi)^2|y-x|}K_1(m|y-x|),$$

donde hemos escrito la separación temporal en términos de la invariante de Lorentz$i (y^0-x^0)=|y-x|$. (Nota: hay un problema en lo que he escrito aquí en que la representación integral$\eqref{int_rep}$solo es valido para$|arg z|<\pi/2$y$|y-x|$está en el eje imaginario ($|arg z|=\pi$), pero creo que se podría desplazar infinitesimalmente$z$fuera del eje imaginario para obtener una integral convergente. Compruébeme en eso.)

De todos modos, para separaciones espaciales, podemos elegir un marco donde$y-x=\vec{y}-\vec{x}\equiv\vec{r}$. Realizando el rendimiento de integraciones polares

$$D(x-y)=\frac{-i}{2(2\pi)^2 r}\int^\infty_{-\infty}dp\frac{p e^{ipr}}{\sqrt{p^2+m^2}}.$$

Finalmente, PS afirma que tomar una integral de contorno en el semiplano superior (asegurándose de evitar el corte de la rama en +im) dará

$$D(x-y)= \frac{1}{(2\pi)^2r}\int^\infty_m d\rho \frac{\rho e^{-\rho r}}{\sqrt{\rho^2-m^2}}, \tag{3}\label{spacelike_prop}$$ dónde$\rho\equiv-ip$.

Pregunta: Sé por conectarme a Mathematica que el propagador espacial$\eqref{spacelike_prop}$también se puede expresar como una función de Bessel modificada$K_1$. Además, los límites de integración de$\eqref{spacelike_prop}$y$\eqref{int_rep}$son incluso los mismos. Sin embargo, no veo cómo transformar la integral del propagador espacial.$\eqref{spacelike_prop}$en forma de$\eqref{int_rep}$. ¿Algunas ideas?

(Preferiría, si es posible, usar la representación integral que he citado$\eqref{int_rep}$y se usa para el caso temporal en lugar de alguna otra representación de la función de Bessel modificada).