Transformación del campo escalar bajo Lorentz Boost [cerrado]

Question

Transformación del campo escalar bajo Lorentz Boost [cerrado]

Física
lorentz-simetría
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon
deberes-y-ejercicios

Sol brillante

Suponga una transformación de Lorentz $\Lambda$ se implementará como el operador unitario $U(\Lambda)$ en el espacio de Hilbert de estados cuánticos de la representación de Fock sobre el que actúa el campo escalar de Klein-Gordon:

φ (X) = \int \frac{d^{3} k}{\sqrt{2} k_{0}} (a (k) {mi}^{- i k \cdot X} + a^{†} (k) {mi}^{+ i k \cdot X}) \equiv \int d Ω_{metro} (a (k) {mi}^{- i k \cdot X} + a^{†} (k) {mi}^{+ i k \cdot X})

$\varphi(x)=\int\frac{d^3k}{\sqrt{2}k_0}\left(a(\mathbf{k})e^{-ik\cdot x}+a^\dagger(\mathbf{k})e^{+ik\cdot x}\right)\equiv \int d\Omega_m\left(a(\mathbf{k})e^{-ik\cdot x}+a^\dagger(\mathbf{k})e^{+ik\cdot x}\right)$ dónde

d Ω_{m}

$d\Omega_m$ es el elemento de medida invariante de Lorentz. ¿Cómo se transforman los operadores de aniquilación y creación? ¿Cómo puedo probar eso?

tu (Λ) φ (X) {tu}^{†} (Λ) = φ (Λ X) ?

$U(\Lambda)\varphi(x)U^\dagger(\Lambda) = \varphi(\Lambda x)?$

Juan Rennie

Un voto negativo parece duro. No estoy seguro de por qué la pregunta se publicó en un formulario de "responde a tu propia pregunta", pero se ha realizado un gran esfuerzo. ¿La votación negativa y/o el cierre realmente harán del mundo un lugar mejor?

kyle kanos

Dado que esta es una pregunta de tarea y hemos dicho una y otra vez que las preguntas similares a la tarea y las preguntas de verificación de mi trabajo están fuera de tema, no veo ninguna razón por la que esto deba recibir un pase especial solo porque el OP lo respondió.

Sol brillante

@Kyle Kanos De hecho, tenía dudas sobre si publicarlo o no: me di cuenta del error que estaba cometiendo al escribirlo. Así que revisé el enlace "Estilo de preguntas y respuestas" a continuación y encontré "Para ser muy claro, no solo está bien hacer y responder su propia pregunta, se recomienda explícitamente" ...

kyle kanos

Sí, Preguntar y responder es aceptable ( lo he hecho yo mismo ). Sin embargo, su pregunta entra en conflicto con las preguntas del tipo "Haz este cálculo por mí" que consideramos fuera de tema.

glS

relacionado: physics.stackexchange.com/q/154673/58382

Sol brillante

@Kyle Kanos ¿Está sugiriendo que debería fingir una duda sobre un concepto físico específico involucrado en el tema, para cumplir con los criterios enumerados en el enlace? ¿O que debería eliminar la publicación? Pensé que podría ayudarme a mí y a otros usuarios a encontrar este cálculo detallado en el sitio, así que lo publiqué en estilo Preguntas y respuestas. No quiero ofender: mis dudas son genuinas.

doblefelix

Solo para que conste, me encontré con esta pregunta porque me la planteé mientras estudiaba la teoría, y no era un problema de tarea; más bien conceptual sobre los operadores de creación/aniquilación. Esta publicación y la solución fueron útiles para mí. Podría ser beneficioso para el sitio reabrir esta pregunta. @juanrennie

Respuestas (1)

Transformación del campo escalar bajo Lorentz Boost [cerrado]

Un voto negativo parece duro. No estoy seguro de por qué la pregunta se publicó en un formulario de "responde a tu propia pregunta", pero se ha realizado un gran esfuerzo. ¿La votación negativa y/o el cierre realmente harán del mundo un lugar mejor?
Dado que esta es una pregunta de tarea y hemos dicho una y otra vez que las preguntas similares a la tarea y las preguntas de verificación de mi trabajo están fuera de tema, no veo ninguna razón por la que esto deba recibir un pase especial solo porque el OP lo respondió.
@Kyle Kanos De hecho, tenía dudas sobre si publicarlo o no: me di cuenta del error que estaba cometiendo al escribirlo. Así que revisé el enlace "Estilo de preguntas y respuestas" a continuación y encontré "Para ser muy claro, no solo está bien hacer y responder su propia pregunta, se recomienda explícitamente" ...
Sí, Preguntar y responder es aceptable ( lo he hecho yo mismo ). Sin embargo, su pregunta entra en conflicto con las preguntas del tipo "Haz este cálculo por mí" que consideramos fuera de tema.
@Kyle Kanos ¿Está sugiriendo que debería fingir una duda sobre un concepto físico específico involucrado en el tema, para cumplir con los criterios enumerados en el enlace? ¿O que debería eliminar la publicación? Pensé que podría ayudarme a mí y a otros usuarios a encontrar este cálculo detallado en el sitio, así que lo publiqué en estilo Preguntas y respuestas. No quiero ofender: mis dudas son genuinas.
Solo para que conste, me encontré con esta pregunta porque me la planteé mientras estudiaba la teoría, y no era un problema de tarea; más bien conceptual sobre los operadores de creación/aniquilación. Esta publicación y la solución fueron útiles para mí. Podría ser beneficioso para el sitio reabrir esta pregunta. @juanrennie

Sol brillante · Answer 1

Físicamente la creación de una partícula con momento $\mathbf{p}$ se verá afectado por el grupo Lorentz de la siguiente manera: desde

tu (Λ) | pag ⟩ = | Λ pag ⟩

$U(\Lambda)|\mathbf{p}\rangle = |\Lambda\mathbf{p}\rangle$

| pag ⟩ = a^{†} (pag) | 0 ⟩

$|\mathbf{p}\rangle=a^\dagger(\mathbf{p})|0\rangle$ obtenemos

tu (Λ) a^{†} (k) {tu}^{†} (Λ) = a^{†} (Λ k) .

$U(\Lambda)a^\dagger(\mathbf{k})U^\dagger(\Lambda)=a^{\dagger}(\Lambda\mathbf{k}).$ De hecho, cualquier amplitud de transición da:

⟨ Λ pag | Λ q ⟩ = ⟨ 0 | a (Λ pag) a^{†} (Λ q) | 0 ⟩ ⟨ Λ pag | Λ q ⟩ = ⟨ pag | {tu}^{†} (Λ) tu (Λ) | q ⟩ = ⟨ 0 | a (pag) {tu}^{†} (Λ) tu (Λ) a^{†} (q) | 0 ⟩ = ⟨ 0 | {tu}^{†} (Λ) tu (Λ) a (pag) {tu}^{†} (Λ) tu (Λ) a^{†} (q) {tu}^{†} (Λ) tu (Λ) | 0 ⟩ = ⟨ 0 | tu (Λ) a (pag) {tu}^{†} (Λ) tu (Λ) a^{†} (q) {tu}^{†} (Λ) | 0 ⟩;

$\langle \Lambda\mathbf{p}| \Lambda \mathbf{q}\rangle=\langle0|a(\Lambda\mathbf{p})a^\dagger(\Lambda\mathbf{q})|0\rangle\\ \langle \Lambda\mathbf{p}| \Lambda \mathbf{q}\rangle= \langle \mathbf{p}|U^\dagger(\Lambda)U(\Lambda)|\mathbf{q}\rangle= \langle0|a(\mathbf{p})U^\dagger(\Lambda)U(\Lambda)a^\dagger(\mathbf{q})|0\rangle=\\ \langle0|U^\dagger(\Lambda) U(\Lambda) a(\mathbf{p})U^\dagger(\Lambda)U(\Lambda)a^\dagger(\mathbf{q})U^\dagger(\Lambda) U(\Lambda)|0\rangle=\langle0|U(\Lambda)a(\mathbf{p})U^\dagger(\Lambda)U(\Lambda)a^\dagger(\mathbf{q})U^\dagger(\Lambda)|0\rangle;$ la comparación produce la fórmula de transformación para

a, a^{†}

$a,a^\dagger$ , donde hemos utilizado el postulado:

U (Λ) | 0 ⟩ = | 0 ⟩

$U(\Lambda)|0\rangle = |0\rangle$ . Luego, tomando el adjunto de lo anterior:

tu (Λ) a (k) {tu}^{†} (Λ) = a (Λ k) .

$U(\Lambda)a(\mathbf{k})U^\dagger(\Lambda)=a(\Lambda\mathbf{k}).$ Ahora

tu (Λ) φ (X) {tu}^{†} (Λ) = tu (Λ) \int d Ω_{metro} (a (k) {mi}^{- i k \cdot X} + a^{†} (k) {mi}^{+ i k \cdot X}) {tu}^{†} (Λ) = \int d Ω_{metro} (tu (Λ) a (k) {tu}^{†} (Λ) {mi}^{- i k \cdot X} + tu (Λ) a^{†} (k) {tu}^{†} (Λ) {mi}^{+ i k \cdot X}) = \int d Ω_{metro} (a (Λ k) {mi}^{- i k \cdot X} + a^{†} (Λ k) {mi}^{+ i k \cdot X})

$U(\Lambda)\varphi(x)U^\dagger(\Lambda)= U(\Lambda)\int d\Omega_m\left(a(\mathbf{k})e^{-ik\cdot x}+a^\dagger(\mathbf{k})e^{+ik\cdot x}\right) U^\dagger(\Lambda)=\\ \int d\Omega_m\left(U(\Lambda)a(\mathbf{k})U^\dagger(\Lambda)e^{-ik\cdot x}+U(\Lambda)a^\dagger(\mathbf{k})U^\dagger(\Lambda)e^{+ik\cdot x}\right)=\\ \int d\Omega_m\left(a(\Lambda\mathbf{k})e^{-ik\cdot x}+a^\dagger(\Lambda\mathbf{k})e^{+ik\cdot x}\right)$ cambiando variable y recordando

d Ω_{m}

$d\Omega_m$ es invariable bajo tal cambio, que de hecho es un impulso,

k = Λ^{- 1} k^{'}

$\mathbf{k}=\Lambda^{-1}\mathbf{k}'$ :

\int d Ω_{metro}^{'} (a (k^{'}) {mi}^{- i (Λ^{- 1} k^{'}) \cdot X} + a^{†} (k^{'}) {mi}^{+ i (Λ^{- 1} k^{'}) \cdot X}) = \int d Ω_{metro}^{'} (a (k^{'}) {mi}^{- i (Λ^{- 1} k^{'}) \cdot (Λ^{- 1} X^{'})} + a^{†} (k^{'}) {mi}^{+ i (Λ^{- 1} k^{'}) \cdot (Λ^{- 1} X^{'})})

$\int d\Omega'_m\left(a(\mathbf{k}')e^{-i(\Lambda^{-1}k')\cdot x}+a^\dagger(\mathbf{k}')e^{+i(\Lambda^{-1}k')\cdot x}\right)=\\ \int d\Omega'_m\left(a(\mathbf{k}')e^{-i(\Lambda^{-1}k')\cdot (\Lambda^{-1}x')}+a^\dagger(\mathbf{k}')e^{+i(\Lambda^{-1}k')\cdot (\Lambda^{-1}x')}\right)$ dónde

x^{'} = Λ x

$x'=\Lambda x$ . Pero el

\cdot

$\cdot$ el producto es invariante bajo

Λ

$\Lambda$ entonces:

tu (Λ) φ (X) {tu}^{†} (Λ) = \int d Ω_{metro}^{'} (a (k^{'}) {mi}^{- i k \cdot X^{'}} + a^{†} (k^{'}) {mi}^{+ i k^{'} \cdot X^{'}}) = φ (X^{'} = Λ X) .

$U(\Lambda)\varphi(x)U^\dagger(\Lambda) = \int d\Omega'_m\left(a(\mathbf{k}')e^{-ik\cdot x'}+a^\dagger(\mathbf{k}')e^{+ik'\cdot x'}\right)=\varphi(x'=\Lambda x).$

¿Cómo estás obteniendo tu tercera ecuación? De los dos primeros: $tu (Λ) a^{†} (pag) | 0 ⟩ = tu (Λ) | pag ⟩ = | Λ pag ⟩ = a^{†} (Λ pag) | 0 ⟩,$ $U(\Lambda) a^\dagger(p) |0\rangle = U(\Lambda) | p \rangle = | \Lambda p \rangle = a^\dagger(\Lambda p)|0\rangle,$ de lo cual se concluiría que $tu (Λ) a^{†} (pag) = a^{†} (Λ pag) .$ $U(\Lambda)a^\dagger(p) = a^\dagger(\Lambda p).$
se agregó una explicación adicional para $U(\Lambda)a^\dagger(p)U^\dagger(\Lambda)=a^\dagger(\Lambda p)$
gracias. Así que estás diciendo que mi razonamiento es incorrecto porque $U(\Lambda)| 0 \rangle = | 0 \rangle$ , ¿bien? Además, tal vez podría especificar que su $\textbf p$ son 4-momentos... la notación en negrita hace pensar en 3-vectores
Sí, no creo que haya una contradicción entre mi fórmula y la tuya, simplemente me gusta más la mía porque generalmente los operadores se transforman por conjugación... Y sí, mi $\mathbf{p}$ son 3-momentos ya que el estado físico puede ser etiquetado por los tres componentes del momento espacial, y agregue $p_0$ por mass-shell cuando sea necesario.
ok, pero entonces como interpretas $\Lambda \textbf p$ si $\textbf p$ es un 3-vector y $\Lambda$ podría ser (por ejemplo) un impulso?
$\Lambda\mathbf{p}=\mathbf{\Lambda\mathbf{p}}$ es decir, la parte espacial de $\Lambda p$ dónde $p$ es un cuatro vector; es solo una forma de enfatizar que solo tres de esos parámetros caracterizan el estado cuántico.
Hola. Creo que hay un terreno más sólido sobre el que justificar sus primeras suposiciones. Lo escribiré aquí y, si lo desea, puede editar su respuesta. Investiguemos al operador. $U(\Lambda)a^\dagger U^\dagger (\Lambda)$ , tenga en cuenta que $U^\dagger (\Lambda)=U(\Lambda^{-1})$ . La acción de un operador se define por su acción en todos los vectores de base. En fock space, esto significa que necesitamos evaluar $tu (Λ) a^{†} (pag) {tu}^{†} | {pag}_{1} . . . {pag}_{norte} >$ $U(\Lambda)a^\dagger (p) U^\dagger|p_1 ... p_N>$ El $U$ transformar cada impulso por $\Lambda$ . Aplicar los 3 operadores: $= | {pag}_{1} . . . Λ pag . . . {pag}_{norte} >$ $=|p_1 ... \Lambda p ... p_N >$ $= a^{†} (Λ pag) | {pag}_{1} . . . {pag}_{norte} >$ $=a^\dagger (\Lambda p) |p_1 ... p_N>$
Entonces en la respuesta se ha probado que $U a_\textbf{p}^{\dagger} U^{\dagger} = a_{\Lambda \textbf{p}}^{\dagger}$ y en el primer comentario se muestra que $U a_\textbf{p}^{\dagger} = a_{\Lambda \textbf{ p}}^{\dagger}$ . ¿Entonces ambos son correctos?

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