Interpretación del estado de vacío del modelo de Ising del campo transversal 1D en un lenguaje de espín

Después de pensarlo, debo decir que no es tan simple como pensé que sería. La transformación JW en el modelo transversal de Ising contiene bastantes sutilezas.

Así que para proceder,

1) Tome su estado fundamental para CUALQUIER $h$expresado en el lenguaje de fermiones sin espín. Hago hincapié en CUALQUIERA porque esta condición siempre se cumple, no es solo para$h<1$. Ahora bien, este es el vacío, especificado por$| 0 \rangle$calle$a_k |0\rangle = 0$. Esta es una condición no trivial escrita en el lenguaje spin, es decir, tomamos los operadores$a_k$y haga lo siguiente:

2) Aplicar la transformada inversa de Bogoliubov en$a_k$:$\{a_k\}\to \{b_k\}$.

3) Aplicar una transformada inversa de Fourier:$\{b_k\} \to \{b_i\}$

4) Aplicar la transformación inversa de Jordan Wigner:$b_i = f(\sigma^x,\sigma^y,\sigma^z)$.

Todas estas transformaciones son invertibles (consulte este pdf para JW y la transformación JW inversa ), por lo que puede hacerlo. Así que componiendo todos los mapas uno puede expresar$a_k = g(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z)$, dónde$g$es la función altamente no trivial.

Entonces uno tiene que encontrar el núcleo de$g(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z)$, es decir$|\psi\rangle$calle$g(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z) |\psi\rangle = 0$.$|\psi \rangle$es el estado fundamental escrito en la base de espín.

Puede escribir un programa para que lo haga por usted simbólicamente, pero a pesar de todo su esfuerzo, terminará con un estado fundamental altamente no local en la base de espín debido a todas las cadenas de Jordan-Wigner.

Observación:

Hay muchas sutilezas asociadas con esta transformación. Lo que muy a menudo no se menciona cuando uno deriva el espectro$\epsilon(k,h)$es que la transformación JW DEBE realizarse por separado en estados con diferente paridad en el espacio de Hilbert.

Esto se debe a que la imposición de condiciones de contorno periódicas en el espacio de espín implica la imposición de condiciones de contorno periódicas para un número IMPAR de fermiones, pero condiciones de contorno antiperiódicas para un número PAR de fermiones. Esto afecta a la transformada de Fourier. En el cálculo de cualquier cantidad macroscópica en el límite termodinámico, no hay diferencia, y muchos libros/recursos simplemente descartan hablar de los dos casos. Pero esta distinción debe hacerse si uno quiere tener cuidado al respecto.

Una pregunta que me surgió cuando estaba pensando en este problema fue: hm, en un límite,$h\to\infty$, el estado fundamental es único, mientras que en el otro límite$h \to 0$los estados fundamentales son 2 veces degenerados. ¿Puedo ver eso en el lenguaje de fermiones fácilmente?

Hay dos resoluciones que puedo pensar para el problema.

1) Podría ser que el estado fundamental$|0\rangle_k$para cada$k$no es único Es decir, en lugar de la representación bidimensional irreducible del CAR fermiónico que solemos suponer$a_k$actúa en,$a_k$podrían ser operadores en un$2 \times d$representación dimensional (reducible), con$d$'estados fundamentales'.

2) Los sectores pares e impares del espacio completo de Hilbert dan lugar a dos condiciones en el estado fundamental:$a_k$en el sector par da una condición$g(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z) |\psi \rangle = 0$mientras$a_k$en el sector impar da otra condición$g'(\sigma^x, \sigma^y, \sigma^z)|\psi'\rangle$= 0.

Tal vez podría darse el caso de que cuando$h\to \infty$,$|\psi\rangle = |\psi'\rangle$, mientras que cuando$h \to 0$,$|\psi\rangle \neq |\psi'\rangle$.

Me parecería más probable que 2) sea el análisis correcto, aunque será una afirmación difícil de probar.

Creo que la conclusión es que todo el mundo cree que la inversión de la operación de Jordan-Wigner debe ser capaz de producir los estados propios simples que uno obtiene muy fácilmente en cualquiera de los dos$h \rightarrow 0$o$h \rightarrow \infty$, pero después de haber revisado muy a fondo la literatura, parece que nadie ha calculado esto explícitamente.

A priori, no hay ninguna razón por la que haya alguna inconsistencia, y se espera que el método descrito en la respuesta de nervxxx funcione, pero nunca antes se había hecho.