Actualmente estoy estudiando la teoría de la dispersión en el libro Quantum Mechanics, Vol. 2 de Cohen-Tannoudji. En el libro el autor deduce que para hallar el número de partículas detectadas lejos del objetivo en una posición descrita por dentro del área solo necesitamos encontrar la sección transversal de dispersión , de modo que , ser la intensidad del haz.
Luego el autor afirma:
Para describir en términos mecánicos cuánticos la dispersión de una partícula incidente dada por un potencial , es necesario estudiar la evolución temporal del paquete de ondas que representa el estado de la partícula.
En realidad, para simplificar los cálculos, vamos a basar nuestro razonamiento directamente en los estados estacionarios y no en los paquetes de ondas.
En ese caso considera una energía fija y busca un estado propio de con esta energía. La evolución de este estado es obviamente . El autor afirma que se trata de la misma energía cinética de la partícula incidente antes de llegar a la zona de influencia del blanco.
A continuación, el autor afirma con respecto a este procedimiento:
Por tanto, especificaremos, utilizando las propiedades del paquete de ondas de forma intuitiva, las condiciones que deben imponerse a las soluciones de si se van a utilizar en la descripción de un proceso de dispersión. Llamaremos estados propios del hamiltoniano que satisfagan estas condiciones estados estacionarios de dispersión .
Finalmente para calcular y por lo tanto el autor utiliza las corrientes de probabilidad. el considera la corriente incidente, considerando que la función de onda es .
El punto central de mi pregunta es que el autor simplemente elige la función de onda asociado al estado estacionario de dispersión con energía , llama a la corriente de probabilidad correspondiente y dice
Del mismo modo, el número de partículas que golpean la abertura del detector por unidad de tiempo es proporcional al flujo del vector a través de la superficie de esta apertura:
De esto el autor obtiene . Todo mi punto aquí es:
Antes de leer esto, la aproximación más natural al problema en mi opinión sería: conociendo el estado inicial, lo hacemos evolucionar en el tiempo según el hamiltoniano. en la zona de influencia del potencial. Conociendo la evolución temporal del estado inicial calculamos la probabilidad de encontrar la partícula incidente dentro del área situado en lejos del objetivo.
Es decir: seguimos la evolución de la partícula para ver qué está pasando con ella.
El enfoque del autor, que es, como descubrí, el enfoque estándar, se basa solo en los llamados estados de dispersión estacionarios . Es decir, en lugar de seguir lo que sucede con el estado de la partícula, terminamos encontrando la solución en ciertos vectores propios del hamiltoniano.
¿Cuál es el razonamiento detrás de esto? ¿Por qué el conocimiento de solo algunos estados propios del hamiltoniano es suficiente para encontrar la sección transversal de dispersión?
Para comprender el método mencionado anteriormente, se puede considerar lo siguiente:
I. se puede notar que el proceso de dispersión que se está tratando es independiente del tiempo y puede dar corrientes de dispersión de estado estacionario independientes del tiempo.
II.Para la dispersión elástica, la energía de la partícula es fija y está bien definida.
III.La evolución del sistema está completamente gobernada por las soluciones de energía positiva a la ecuación de valor propio de energía.
Esto naturalmente nos lleva a preguntarnos si existen o no soluciones estacionarias a la ecuación de valores propios de la energía que tengan propiedades asintóticas ?correspondientes a la situación experimental de interés?
La respuesta es sí y las soluciones de interés se denominan estados estacionarios de dispersión del potencial asociado V (r):
Para comprender estos estados se puede considerar el dim. analogía de una partícula libre que incide sobre una barrera de potencial.
Para esta situación, existen soluciones en las que la función de onda a la izquierda de la barrera es una combinación lineal de una onda de derecha (incidente) y de izquierda (dispersa),
mientras que la función de onda a la derecha de la barrera contiene una parte que corresponde a la parte transmitida o "dispersada hacia adelante" de la onda.
Notamos que, experimentalmente, la función de onda en la región de la barrera es inaccesible, y la única información que podemos obtener es midiendo las magnitudes relativas de las ondas dispersas hacia adelante y hacia atrás...
Aquí la forma de función de onda dispersa satisface la naturaleza asintótica de la función de onda con la amplitud de dispersión como coeficiente que representa la intensidad dispersa. Es una onda plana modificada.
El hecho es que asintóticamente, el componente radial es el principal contribuyente, la parte (Phi, theta) de la densidad de corriente de J (s) se vuelve insignificante en comparación con ella.
El módulo cuadrado de las amplitudes de dispersión está directamente relacionado con las secciones transversales de dispersión diferencial (como obtendríamos en el análisis de onda parcial del proceso de dispersión)
Los detalles se pueden ver en > http://web.mst.edu/~parris/QuantumTwo/Class_Notes/Scattering.pdf
La respuesta a esta pregunta se reduce fundamentalmente a "álgebra lineal", o quizás "señales y sistemas".
Es un resultado bien conocido de, por ejemplo, el análisis de Fourier, que una señal se puede dividir en componentes que dependen solo del contexto y el medio de la señal y no de la señal en sí. Por ejemplo, el ejemplo clásico de dividir una nota de violín en una suma de frecuencias resonantes que dependen de la forma y la longitud del instrumento, o en un ejemplo más complejo, la atenuación dependiente de la frecuencia a través de un cable reactivo.
Sucede que en la mecánica cuántica, podemos dar a estas resonancias básicas un significado físico: partículas . Al final, sin embargo, el principio es el mismo: una función de probabilidad con respecto al tiempo se puede descomponer en una combinación específica de modos vibratorios generales, que son mucho más simples de manipular.
qmecanico
zeldredge