¿Por qué el ansatz de onda plana es apropiado para la dispersión de secciones transversales de un haz de partículas localizado?

Esta pregunta es un derivado de esta pregunta relacionada: ¿ Por qué la aproximación de Born para la amplitud de dispersión depende del potencial? V en todas partes del espacio, a diferencia de la dispersión clásica? Esta pregunta trata de un tema muy similar, que es resolver problemas de dispersión "localmente", es decir, sin conocer el potencial V en todas partes en el espacio, lo cual es posible en el caso de la dispersión clásica.

En la derivación de libro de texto de la sección transversal de dispersión (p. ej., Griffiths QM) buscamos soluciones a la ecuación de Schrödinger que tienen la forma

ψ ∝ mi i k z + F ( θ ) mi i k r r

dónde F la amplitud de dispersión tiene la interpretación de que | F | 2 = d σ d Ω . La forma en que entiendo las secciones transversales es que se relacionan con la atenuación de un haz de partículas, pero un haz de partículas está localizado de una manera que no lo está una onda plana. Si los paquetes de ondas en un haz de partículas se escriben como una combinación lineal de ondas planas ψ haz = ∑ k ∈ k A k mi i k z , ¿No encontraríamos que la amplitud de dispersión apropiada sería alguna F ~ = ∑ k ∈ k F k ≠ F de resolver la ecuación de Schrödinger para cada onda plana? ¿Hay alguna identidad como d σ d Ω = | F ~ | 2 = | F | 2 o σ nene = ∫ 0 π | F ~ | 2 pecado ⁡ θ d θ = ∫ 0 π | F | 2 pecado ⁡ θ d θ ?

Respuestas (2)

La teoría de la dispersión de la mecánica cuántica es un compromiso difícil entre el fenómeno de las ondas, por un lado, y la visión clásica de la dispersión de partículas, por el otro. Al igual que una onda electromagnética, la solución de dispersión existe en todas partes del espacio; lo que realmente la diferencia de un problema de valor propio es que es una onda que se propaga (en lugar de una onda estacionaria), que se incorpora correctamente a través de las condiciones de contorno apropiadas (es decir, entrante y saliente). ondas salientes). Esto también es consistente con la visión clásica de la dispersión en el sentido de que la partícula incidente tiene un momento bien definido.

Hay dos razones principales por las que se habla de paquetes de ondas en este contexto. Uno es pedagógico, ya que ayuda a establecer la conexión con una imagen más intuitiva de la dispersión como partículas que golpean un obstáculo. Personalmente, encuentro tales explicaciones confusas, pero supongo que ayuda a algunas personas a pensar de esta manera. El precio a pagar es algo matemático confuso.

La razón más profunda para hablar de paquetes de ondas es que una onda de dispersión no podría extenderse de manera realista por todo el espacio y existir para siempre. Esto significa que en realidad es un paquete de ondas, cuyo tamaño está controlado por la geometría y la duración de nuestro experimento.

En cuanto a las fórmulas: relacionan las cantidades en la misma capa de energía (las magnitudes de los momentos realmente pueden variar en algunos problemas), y se entienden/interpretan mejor en términos de la imagen de onda. La relación general entre la sección transversal y la amplitud de dispersión (a todos los órdenes en el potencial de dispersión) se conoce como el teorema óptico .

Si estoy entendiendo su pregunta correctamente, la respuesta es sí, asumiendo que una solución de onda plana produciría una función de onda de la forma

ψ k ( r , t ) = mi i ( k z − ω k t ) + F k ( θ ) mi i ( k r − ω k t ) r

por lo que una solución de paquete de ondas tomaría la forma

Ψ ( r , t ) = ∫ d 3 k   A ( k ) mi i ( k ⋅ r − ω k t ) ⏟ rayo entrante + ∫ d 3 k A ( k ) F k ( θ ) mi i ( k r − ω k t ) r

en la región asintótica en la que el potencial es (efectivamente) cero.

¿Por qué el ansatz de onda plana es apropiado para la dispersión de secciones transversales de un haz de partículas localizado?
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