Teoría de borde de FQHE - ¿No se puede producir la función de Green a partir de las relaciones de anticonmutación y la ecuación de movimiento?

Estoy estudiando la teoría del borde del efecto Hall cuántico fraccional (FQHE) y me he topado con una peculiar contradicción relacionada con el procedimiento de bosonización que no puedo resolver. ¡Ayuda!

En particular, considere las primeras páginas del artículo de XG Wen "Teoría de los estados de borde en los efectos de Hall cuánticos fraccionarios" . Aquí, Wen define un campo fermiónico Ψ ( X , t ) en (1+1) dimensiones en términos de un campo bosónico ϕ ( X , t ) como

Ψ ( X , t ) ∝ mi i 1 v ϕ ( X , t ) .

El número v es la fracción de llenado del FQHE, que fijaremos en v = 1 / 3 por simplicidad. El campo bosónico cumple las relaciones de conmutación un tanto extrañas

[ ϕ ( X , y ) , ϕ ( y , t ) ] = i π v firmar ( X − y )

que son necesarios para hacer Ψ ( X , t ) anticonmutación como un fermión adecuado

{ Ψ ( X , t ) , Ψ † ( y , t ) } = d ( X − y ) .

Además, el campo bosónico satisface la ecuación de movimiento

( ∂ t − v ∂ X ) ϕ ( X , t ) = 0 .

Un álgebra de operadores muestra que Ψ ( X , t ) es también una solución a esta ecuación de movimiento. Sin embargo, me parece que estos dos requisitos, la anticonmutación y la ecuación de movimiento, ¡ya fijan la función de Green del fermión!

Sin embargo, Wen continúa señalando que estos fermiones tienen la función de Green (ecuación (2.12) en el artículo)

GRAMO ( X , t ) = ⟨ T ( Ψ † ( X , t ) Ψ ( 0 ) ) ⟩ = Exp ⁡ [ ⟨ 1 v 2 ϕ ( X , t ) ϕ ( 0 ) ⟩ ] ∝ 1 ( X − v t ) 1 / v .

No entiendo cómo puede ser esto. Después de todo, a partir de las relaciones de anticonmutación y la ecuación de movimiento, podemos calcular la función de Green como

GRAMO ( X , t ) ∝ 1 X − v t .

Para hacer esto, defina los modos de Fourier Ψ k , Ψ k † , obtenga las relaciones de anticonmutación habituales para estos, resuelva la ecuación de movimiento y transforme de nuevo en espacio real. El resultado será como se indica, y el exponente 1 / v faltará

¿De dónde salió el exponente? 1 / v ¿Vamos? ¿Qué tiene de malo calcular la función de Green a partir de las relaciones de anticonmutación y la ecuación de movimiento?

Tal vez algo esté pasando dentro de la d ( X − y ) parte de las relaciones de anticonmutación? Si es así, ¿qué exactamente? ¿O tal vez algo sobre el estado fundamental? ¿O algo sobre el procedimiento de bosonización en su conjunto?

¿Está teniendo en cuenta correctamente el producto pedido normal en la definición de Ψ ?
@JoséFigueroa-O'Farrill: No, ¿pero eso no debería afectar las relaciones de anticonmutación y la ecuación de movimiento? El estado fundamental puede ser diferente, pero me cuesta ver cómo un estado fundamental diferente podría dar lugar a un exponente diferente en la función de Green.
En realidad lo hacen. Este tipo de cálculo es típico en la teoría de campos conformes, un tema con el que me siento mucho más cómodo que el FQHE. En CFT, los campos bosónicos no son locales, pero sus corrientes sí lo son. Las relaciones de conmutación de los bosones se pueden leer a partir de la expansión del producto de su operador, que es logarítmica. El cálculo de la función de dos puntos de exponenciales de orden normal se puede encontrar en muchos lugares; por ejemplo, §6.3.2 en "Teoría de campos conformes" por Di Francesco, Mathieu y Sénéchal.

Respuestas (2)

Entiendo que desea calcular el propagador de fermiones en el formalismo del operador (en contraste con el formalismo de integral de ruta donde se puede obtener el mismo resultado). Luego, siguiendo el comentario de José, la fórmula de fermionización es correcta, es decir, da las relaciones canónicas de anticonmutación si y solo si está ordenada normalmente:

ψ ( z ) =: Exp ⁡ ( i 1 v ϕ ( z ) ) := Exp ⁡ ( i 1 v ϕ + ( z ) ) Exp ⁡ ( i 1 v ϕ − ( z ) )

dónde ϕ + ( z ) ( ϕ − ( z ) ) contiene solo la dependencia de los componentes del campo de creación (aniquilación).

La fórmula del propagador de fermiones dada en la pregunta es una consecuencia de la fórmula del producto de dos exponenciales normalmente ordenadas:

: Exp ⁡ ( i a ϕ ( z 1 ) ) :: Exp ⁡ ( i b ϕ ( z 2 ) ) :=: Exp ⁡ ( i a ϕ ( z 1 ) + i b ϕ ( z 2 ) ) : mi X pags ( − a b ⟨ ϕ ( z 1 ) ϕ ( z 2 ) ⟩ ) .

Esta fórmula se puede verificar fácilmente de forma independiente para cada modo utilizando la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff

Ahora, el cálculo es con respecto al vacío del bosón y esta es la razón por la cual el propagador de fermiones tiene dependencia de potencia.

Entonces, básicamente, estás diciendo que | 0 ⟩ es el estado de vacío para los modos bosónicos, ϕ − ( z ) | 0 ⟩ = 0 , y que es muy diferente del estado fundamental habitual (mar de Fermi) para los fermiones, es decir, tenemos Ψ k | 0 ⟩ ≠ 0 ? Me interesaría un cálculo de fondo que muestre cómo un estado fundamental de fermión "inusual" puede dar lugar a una dependencia de potencia diferente de la función de Green.
(Anexo: la idea es que quiero olvidarme de todos los bosones una vez que tenga mis relaciones de anticonmutación de fermiones y las ecuaciones de movimiento y el estado fundamental).
Expandiendo la última declaración en la respuesta: la teoría bosónica es una representación de campo libre de una teoría fermiónica que interactúa. Consulte Schulz, Cuniberti, Pieri arxiv.org/abs/cond-mat/9807366 . La solución por medio de la bosonización es en realidad una transformación de Bogolyubov (que combina los operadores de aniquilación y creación, por lo que transforma el estado de vacío del "fermión libre" en el estado de vacío exacto.
continuación Ahora, si uno quiere trabajar exclusivamente con operadores de fermiones, es posible expresar los operadores de Bose como bilineales en los operadores de Fermi, consulte, por ejemplo, Rao y Sen: arxiv.org/abs/cond-mat/0005492 sección 2.1., pero esto es solo revertir la transformación de Bogolyubov.
Muchas gracias, en particular por la última referencia, que creo que es una de las introducciones más claras a la bosonización con operadores. Muestra cómo el estado fundamental de Fermion difiere del habitual. Si bien no responde directamente a mi pregunta, me ha ayudado mucho y aceptaré su respuesta.

Aquí, me gustaría hacer algunas observaciones adicionales.

1) En la ecuación (2.11) del artículo referido, se da la correlación del campo bosónico ⟨ ϕ ( X , t ) ϕ ( 0 ) ⟩ = − v en ⁡ ( X − v t ) . Esto nos permite calcular GRAMO ( X , t ) = ⟨ T ( Ψ † ( X , t ) Ψ ( 0 ) ) ⟩ = Exp ⁡ [ ⟨ 1 v 2 ϕ ( X , t ) ϕ ( 0 ) ⟩ ] ∝ 1 ( X − v t ) 1 / v .

2) No es correcto escribir { Ψ ( X , t ) , Ψ † ( y , t ) } = d ( X − y ) , desde aquí Ψ ( X , t ) no es el operador de electrones desnudos. Ψ ( X , t ) = mi X pags ( i ϕ ( X , t ) / v ) es solo la proyección del operador de electrones desnudos en el subespacio de baja energía. Entonces tenemos Ψ ( X , t ) Ψ † ( y , t ) = ( − ) 1 / v Ψ † ( y , t ) Ψ ( X , t ) = − Ψ † ( y , t ) Ψ ( X , t ) cuando 1 / v = entero impar. Pero { Ψ ( X , t ) , Ψ † ( y , t ) } = d ( X − y ) no es correcto.

Entonces, básicamente estás diciendo que para X ≠ y nosotros tenemos { Ψ ( X , t ) , Ψ † ( y , t ) } = 0 , pero para X = y la función delta es diferente de la habitual? ¿Se conoce la forma de esta función delta?
@Greg: Tienes razón. Para x=y, el anticonmutador puede no ser un d -función.
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