¿Cómo se obtienen las relaciones de conmutación en tiempos no iguales (para el borde de un estado Hall cuántico fraccional)?

Question

¿Cómo se obtienen las relaciones de conmutación en tiempos no iguales (para el borde de un estado Hall cuántico fraccional)?

Física
materia Condensada
efecto-hall-cuántico
teoría cuántica de campos
teoría del campo conforme

Olaf

El borde de un estado Hall cuántico fraccional es un ejemplo de un líquido Luttinger quiral. Tomemos, en aras de la simplicidad, el borde del estado de Laughlin. El hamiltoniano es:

H = \frac{2 π}{v} \frac{v_{C}}{2} \int_{borde} d X ρ (X)^{2}

$H = \frac{2\pi}{\nu}\frac{v_c}{2} \int_{\textrm{edge}} dx \rho(x)^2$

Aquí $\nu$ es la fracción de llenado, que es constante, $v_c$ es la velocidad del modo de borde y $\rho$ es el operador de densidad de carga. Puedes pensar en este hamiltoniano como una interacción de función delta $V(x,x') = \delta(x-x')$ .

Junto a este hamiltoniano existe también la relación de conmutación del campo $\rho$ :

[ρ (X), ρ (X^{'})] = i \frac{v}{2 π} \partial_{X} d (X - X^{'})

$[\rho(x),\rho(x')] = i\frac{\nu}{2\pi} \partial_x \delta(x-x')$

Yo mismo no he realizado el ejercicio, pero supongo que esto se obtiene yendo al espacio de momento, obteniendo el momento canónico a través de la ecuación de movimiento de Hamilton y realizando una cuantización canónica. Estas relaciones de conmutación de tiempo igual junto con las ecuaciones de movimiento de Heisenberg conducen a:

\partial_{t} ρ (X, t) = i [H, ρ (X, t)] = v_{C} \partial_{X} ρ (X, t)

$\partial_t \rho(x,t) = i[H,\rho(x,t)] = v_c \partial_x\rho(x,t)$

Esto demuestra que la arista es quiral, ya que $(\partial_t - v_c\partial_x)\rho(x,t) = 0$ y por lo tanto el correlador que involucra $\rho(x,t)$ (o cualquier otro correlador) es una función de $t+x/v_c$ solo (de ahí el nombre "quiral" y "movimiento a la izquierda").

También hay excitaciones de partículas (por ejemplo, el electrón) que se generan a través del operador de vértice. $\Psi(x,t)$ (estos pueden ser motivados a través de la bosonización y/o la teoría del campo conforme, pero no entraré en eso). En cualquier caso, estos operadores de campo tienen las siguientes relaciones de conmutación de tiempo igual con el operador actual:

[ρ (X), Ψ (X^{'})] = q Ψ (X^{'}) d (X - X^{'})

$[\rho(x),\Psi(x')] = Q \Psi(x')\delta(x-x')$

Aquí $Q$ es cargo del operador $\Psi$ con respecto al operador de densidad de carga $\rho$ . Esta carga es entonces, por supuesto, la carga eléctrica.

Mi pregunta ahora es: ¿cómo generalizas las relaciones de conmutación a tiempos desiguales? Qué es:

[ρ (X, t), ρ (X^{'}, t^{'})] = \dots

$[\rho(x,t),\rho(x',t')] = \ldots$

[ρ (X, t), Ψ (X^{'}, t^{'})] = \dots

$[\rho(x,t),\Psi(x',t')] = \ldots$

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Respuestas (1)

¿Cómo se obtienen las relaciones de conmutación en tiempos no iguales (para el borde de un estado Hall cuántico fraccional)?

usuario4696 · Answer 1

Simplemente puede reemplazar los argumentos $x \to x+vt$ en todos esos conmutadores. La manera de probar eso es ir al espacio de cantidad de movimiento, donde $\rho (k, t) = \rho (k,0) e^{i k v t}$ .

Demostrando que sobre el conmutador $[\rho (x,t),\psi (x',t')]$ es un poco más complicado, porque no conocemos la forma explícita de $\psi (t)$ , pero la forma en que lo hice fue usar

[ρ (X, t), ψ (X^{'}, t^{'})] = {tu}^{†} (t^{'}) [ρ (X, t - t^{'}), ψ (X^{'}, 0)] tu (t^{'})

$[\rho (x,t),\psi (x',t')] = U^\dagger (t') [\rho (x,t-t'),\psi (x',0)] U (t')$ Donde U es el operador de evolución temporal. De esta manera sólo se necesita la evolución temporal de la densidad.

Fantástico. Es tan elegante que me pregunto por qué no se me ocurrió. Revisé todo y funciona como dijiste ( $x\rightarrow x+vt$ ). Por lo que vale: los operadores de campo adoptan la forma $\Psi(x) \sim exp(i \alpha \int_{-\infty}^x \rho(x))$ , por lo que la relación se transfiere automáticamente.

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Olaf

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usuario4696

Olaf

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