SHO en QM y campo Klein Gordon en 1+0D QFT

Question

SHO en QM y campo Klein Gordon en 1+0D QFT

Física
mecánica cuántica
oscilador armónico
teoría cuántica de campos
ecuación de klein-gordon

123hoedjevan

El SHO en QM con masa $m=1$ tiene acción

S [X] = \int d t \frac{1}{2} {\dot{X}}^{2} + \frac{1}{2} ω^{2} X^{2}

$S[x] = \int dt \frac{1}{2} \dot x^2 + \frac{1}{2}\omega^2 x^2$ por integración por partes vemos que esto es lo mismo que 1 acción dim Klein Gordon QFT con campo

x (t)

$x(t)$ y masa

m = ω

$m=\omega$ :

S [X] = \int d t \frac{1}{2} X (- \partial_{t}^{2} + ω^{2}) X

$S[x] = \int dt \frac{1}{2} x ( -\partial_t^2 + \omega^2 )x$ Ahora, como se hizo en la sección 2 de este artículo ( http://authors.library.caltech.edu/8383/1/BOOejp07b.pdf ), podemos derivar el propagador 1+0D QFT Feynman en el QFT:

⟨ 0 | T X (t_{i}) X (t_{F}) | 0 ⟩ = \frac{1}{2 ω} {mi}^{- i ω | t_{i} - t_{F} |}

$\langle 0|\mathcal{T}x(t_i) x(t_f) | 0 \rangle = \frac{1}{2\omega} e^{-i\omega|t_i-t_f|}$ Dado que las acciones son las mismas, siento que de alguna manera debería poder relacionar este resultado con la amplitud de QM

⟨ X_{F}, t_{F} | X_{i}, t_{i} ⟩

$\langle x_f,t_f|x_i,t_i\rangle$ que es una fórmula bastante complicada con senos y cosenos derivada de la integral de ruta de este artículo ( http://web.mit.edu/dvp/www/Work/8.06/dvp-8.06-paper.pdf ). ¿Existe una forma ordenada de asignar este 1D QFT al QM SHO? ¿O del QM SHO al 1+0D QFT?

knzhou

¡Las acciones no son las mismas! En el caso de QFT, también tiene una posición integral sobre. En general, QM es un "QFT 0D" y no tiene suficiente información para describir el QFT real.

123hoedjevan

Bueno, no si es un QFT 1D: si uno define un QFT 1 dim, solo debería depender de un parámetro (en mi caso lo llamo

t

$t$ ), y luego defino un campo bosónico al que llamo

x

$x$ , depende de

t

$t$ , es decir

x (t)

$x(t)$ es mi campo bosónico, viviendo en 1 dimensión (t). Luego, la acción se integra sobre el espacio base de los campos cuánticos, y eso es solo

t

$t$ . Así que estoy bastante seguro de que esta es la acción 1D QFT correcta para un campo bosónico.

knzhou

Lo siento, debería haber sido más claro. El QHO es un QFT de "0+1 dimensiones", con una dimensión de tiempo. Desea hacerlo coincidir con un QFT "1+1 dimensional", que no funciona.

knzhou

Es más fácil ver la diferencia en el límite clásico. Un oscilador armónico clásico está definido por una función

x (t)

$x(t)$ , solo hay un parámetro en cada momento. Un campo 1D clásico está definido por una función

ϕ (x, t)

$\phi(x, t)$ , que es totalmente diferente. QFT es mucho más complejo.

123hoedjevan

Está bien, estoy un poco confundido. Un campo 1D clásico solo debería tener un espacio base de solo 1 coordenada, ¿verdad? No 2. De la misma manera que los campos 4D dependen de 4 coordenadas. El

x (t)

$x (t)$ es mi campo bosónico, así que estoy redefiniendo

x \to ϕ

$x \to \phi$ , solo tengo un campo 1D

ϕ (x)

$\phi(x)$ obedeciendo la acción anterior. EDITAR: cuando digo dimensión, quiero decir

e i t h e r

$either$ espacial o temporal

Respuestas (1)

SHO en QM y campo Klein Gordon en 1+0D QFT

¡Las acciones no son las mismas! En el caso de QFT, también tiene una posición integral sobre. En general, QM es un "QFT 0D" y no tiene suficiente información para describir el QFT real.
Bueno, no si es un QFT 1D: si uno define un QFT 1 dim, solo debería depender de un parámetro (en mi caso lo llamo $t$ ), y luego defino un campo bosónico al que llamo $x$ , depende de $t$ , es decir $x(t)$ es mi campo bosónico, viviendo en 1 dimensión (t). Luego, la acción se integra sobre el espacio base de los campos cuánticos, y eso es solo $t$ . Así que estoy bastante seguro de que esta es la acción 1D QFT correcta para un campo bosónico.
Lo siento, debería haber sido más claro. El QHO es un QFT de "0+1 dimensiones", con una dimensión de tiempo. Desea hacerlo coincidir con un QFT "1+1 dimensional", que no funciona.
Es más fácil ver la diferencia en el límite clásico. Un oscilador armónico clásico está definido por una función $x(t)$ , solo hay un parámetro en cada momento. Un campo 1D clásico está definido por una función $\phi(x, t)$ , que es totalmente diferente. QFT es mucho más complejo.
Está bien, estoy un poco confundido. Un campo 1D clásico solo debería tener un espacio base de solo 1 coordenada, ¿verdad? No 2. De la misma manera que los campos 4D dependen de 4 coordenadas. El $x (t)$ es mi campo bosónico, así que estoy redefiniendo $x \to \phi$ , solo tengo un campo 1D $\phi(x)$ obedeciendo la acción anterior. EDITAR: cuando digo dimensión, quiero decir $either$ espacial o temporal

qmecanico · Answer 1

Sí, es posible hacer coincidir el QM con un QFT en dimensiones 1+0. Sin embargo, el vacío de Fock $|0\rangle$ (que es aniquilado un operador de aniquilación $a|0\rangle=0$ ) está naturalmente relacionado con los estados coherentes

\begin{matrix} (1) & \hat{a} | z ⟩ = z | z ⟩ \end{matrix}

$\hat{a} |z\rangle~=~ z|z\rangle \tag{1}$

en lugar de autoestados de posición

\begin{matrix} (2) & \hat{q} | q ⟩ = q | q ⟩ . \end{matrix}

$\hat{q} |q\rangle~=~q|q\rangle.\tag{2}$ [Por supuesto, es posible traducir entre los diferentes operadores y estados propios (1)

\leftrightarrow

$\leftrightarrow$ (2).] Por lo tanto, es más fácil considerar la superposición de estado coherente

\begin{matrix} (3) & ⟨ z_{F}^{*}, t_{F} | z_{i}, t_{i} ⟩ \end{matrix}

$\langle z_f^{\ast},t_f | z_i, t_i \rangle \tag{3}$ en lugar de la superposición del espacio de posición

\begin{matrix} (4) & ⟨ q_{F}, t_{F} | q_{i}, t_{i} ⟩ . \end{matrix}

$\langle q_f,t_f | q_i, t_i \rangle \tag{4} .$ Una función QFT de 2 puntos

\begin{matrix} (5) & ⟨ 0^{*} | T [\hat{a} (t_{1}) {\hat{a}}^{†} (t_{2})] | 0 ⟩ \end{matrix}

$\langle 0^{\ast} | T[\hat{a}(t_1) \hat{a}^{\dagger}(t_2) ]|0 \rangle \tag{5}$ está estrechamente relacionado con la superposición de estado coherente (3) con dos inserciones adicionales y

z_{i} = 0 = z_{f}

$z_i=0=z_f$ . Véase, por ejemplo, Ref. 1 para más detalles.

Referencias:

LS marrón, QFT; Secciones 1.7-1.8.

SHO en QM y campo Klein Gordon en 1+0D QFT

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