¿Es realmente necesaria la noción de integrales indefinidas en el análisis? (Walter Rudin "Principios de Análisis Matemático 3ra Edición")

Hay una entrada solitaria en el índice para "integral indefinida" en el texto más avanzado de Walter Rudin (es decir, no el pequeño) Real and Complex Analysis .

Yo cito:

"Si$f\in L^1(\mathbb R^k)$y

$$\mu(E) = \int_E f(x)\,dx$$ es razonable llamar$\mu$la integral indefinida de$f$."

Ese es el uso que siempre he seguido. Con el mismo espíritu escribiría

$$F(x) = \int_a^x f(t)\,dt$$ para una función integrable de Lebesgue$f:[a,b]\to\mathbb R$y decir eso$F$es una integral indefinida para$f$. Eso te permite declarar que una función$F$es una integral indefinida en el sentido de Lebesgue si y solo si es absolutamente continua. o una función$F$es una integral indefinida en el sentido de Lebesgue de una función acotada si y solo si es Lipschitz. (Incluso puede solicitar condiciones necesarias y suficientes para una función de una integral indefinida en el sentido de Riemann, pero eso es bastante más complicado).

Supongo que, en cambio, está pensando en una definición que uno recuerda vagamente de aquellos meses en una clase de cálculo cuando las hormonas y las presiones sociales interferían con la comprensión:

Definición . Suponer que$f:(a,b)\to \mathbb R$tiene la propiedad de que existe una función$F:(a,b)\to\mathbb R$tal que$F'(x)=f(x)$para todos$a<x<b$. Entonces$F$se llama primitiva [o antiderivada] para$f$en ese intervalo abierto y la expresión

$$\int f(x)\,dx =F(x) + C$$ se llama integral indefinida con el entendimiento de que$C$es una constante arbitraria.

¿Necesitamos esa definición en el análisis? ¿En realidad? Sin embargo, es una buena idea recordarlo. Es muy posible que acabe dando clases particulares o como asistente o incluso (horror) dando una conferencia a una clase numerosa y ruidosa de estudiantes de primer año sobre el tema de "cálculo".

A los efectos del análisis, "integral indefinida" en ese sentido no es una terminología útil. Sólo decir$f$es un derivado,$F$es un primitivo para$f$. No recuerdo ninguna discusión avanzada de derivadas que vuelva a los términos del cálculo. En la gran monografía de Andy Bruckner "Diferenciación de funciones reales" no hay índice, pero apostaría (una pequeña cantidad) a que la frase "integral indefinida" no aparece en el sentido del cálculo.

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POSDATA. Si bien he reproducido la definición de cálculo para la integral indefinida, debo comentar que la situación real es que los estudiantes de cálculo solo la entienden vagamente de todos modos. Uno ve en todas partes en grupos en línea la declaración:$\int\frac1x\,dx = \ln|x|+ C$. Esto tiene sentido en$(0,\infty)$y en$(-\infty,0)$según la definición. No tiene sentido en$(-\infty,0)\cup(0,\infty)$ya que una constante arbitraria no es suficiente y la definición se aplica solo a un solo intervalo abierto en cualquier caso.