Explicando el teorema de Green para estudiantes universitarios

He aquí una forma intuitiva de descubrir el teorema de Green. Esto es similar a la forma en que los físicos derivan el teorema de Green. (Mi objetivo aquí es proporcionar intuición, no una prueba rigurosa).

Dejar$D$ser una región en$\mathbb R^2$cuyo límite es una curva cerrada suave$C$. Asumiré que$C$está orientado en sentido contrario a las agujas del reloj: ahora imagina cortar$D$en pequeños pedazos de manera que cada pequeño pedazo sea un paralelogramo (o al menos, cada pequeño pedazo sea aproximadamente un paralelogramo). La siguiente imagen se ve mejor a pantalla completa:

Dejar$C_i$ser el límite de la$i$el diminuto paralelogramo. Asumiré cada$C_i$está orientado en sentido antihorario. Note que si$f$es un campo vectorial suave en$\mathbb R^2$entonces

$$\sum_i \int_{C_i} f \cdot dr = \tag{1} \int_C f \cdot dr.$$ Esto se debe a que la suma de los "telescopios" de la izquierda. Todo lo que está en el medio se cancela y solo nos quedan los términos de contorno. Este hermoso paso en la derivación recuerda a la suma telescópica que aparece al derivar el teorema fundamental del cálculo en el cálculo de una sola variable.

Para completar nuestra derivación del teorema de Green, debemos calcular la integral de$f$alrededor del límite de un diminuto paralelogramo. A continuación se muestra una imagen de un pequeño paralelogramo único que se basa en un punto$x = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \in \mathbb R^2$y que está atravesado por vectores$v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$y$w = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix} \in \mathbb R^2$. El límite del paralelogramo está orientado en sentido antihorario:

Como este es un paralelogramo muy pequeño, haré la aproximación de que la integral de$f$a lo largo del borde 1 es aproximadamente$f(x) \cdot v$, la integral de$f$a lo largo del borde 2 es aproximadamente$f(x + v) \cdot w$, la integral de$f$a lo largo del borde 3 es aproximadamente$f(x + w) \cdot (-v)$, y la integral de$f$a lo largo del borde 4 es aproximadamente$f(x) \cdot (-w)$. Sumando estos cuatro términos y emparejando la arista 1 con la arista 3 y la arista 2 con la arista 4, encontramos que la integral de$f$a lo largo del límite de este paralelogramo es aproximadamente

$$\begin{align*} &\quad \langle f(x+v) - f(x), w \rangle - \langle f(x + w) - f(x), v \rangle \\ \approx & \quad \langle f'(x) v, w \rangle - \langle f'(x) w, v \rangle \\ \tag{2} &= \left(\frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2} \right) \underbrace{(v_1 w_2 - v_2 w_1)}_{\text{Area of parallelogram}}. \end{align*}$$ Aquí$f_1$y$f_2$son las funciones componentes de$f$, y$f'(x) = \begin{bmatrix} \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2} \\ \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1} & \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_2} \end{bmatrix}$es la matriz jacobiana de$f$en$x$.

El paso final es aplicar la fórmula (2) a la suma de la izquierda en la ecuación (1). Dejar$\Delta A_i$ser el área de la$i$el diminuto paralelogramo, y sea$x^i \in \mathbb R^2$ser el punto donde el$i$se basa el diminuto paralelogramo. (El$i$aquí hay un superíndice, no un exponente). La combinación de las fórmulas (1) y (2) revela que

$$\begin{align} \int_C f \cdot dr &\approx \sum_i \left(\frac{\partial f_2(x^i)}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1(x^i)}{\partial x_2} \right) \Delta A_i \\ &\approx \int_D \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2} \, dA. \end{align}$$ Hemos descubierto la fórmula del teorema de Green. Parece plausible que podamos hacer que la aproximación sea tan precisa como queramos cortando$D$en trozos suficientemente pequeños. Así, concluimos que $$\int_C f \cdot dr = \int_D \frac{\partial f_2(x)}{\partial x_1} - \frac{\partial f_1(x)}{\partial x_2} \, dA$$

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Comentarios:

• Una forma de picar$D$en diminutos paralelogramos es comenzar con una región rectangular$R$que se corta en pequeños rectángulos, luego se transforma suavemente$R$sobre$D$. De hecho, esa es la forma en que se hizo la imagen de arriba. Si$D$no es difeomorfa a una región rectangular, entonces$D$al menos se puede dividir en piezas más simples, cada una de las cuales es difeomorfa a una región rectangular.
• En la ecuación (2) anterior, utilicé la fórmula$v_1 w_2 - v_2 w_1$para el área del paralelogramo atravesada por los vectores$v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$y$w = \begin{bmatrix} w_1 \\ w_2 \end{bmatrix}$. Esta fórmula se deriva aquí .
• Al derivar la ecuación (2), utilicé la aproximación de Taylor de primer orden $$\tag{3} f(x + v) - f(x) \approx f'(x) v.$$ La aproximación es buena cuando$v$es pequeño. La matriz jacobiana$f'(x)$también se le llama derivada de$f$en$x$. La aproximación (3), a la que Terence Tao se refiere como "aproximación de Newton", es la idea clave del cálculo. Es esencialmente la definición de$f'(x)$. La estrategia fundamental del cálculo es tomar una función no lineal$f$(difícil) y aproximarlo localmente mediante una función lineal (fácil). Al derivar las fórmulas del cálculo, siempre encontramos que usamos la aproximación (3) en el momento crucial.
• La gente a menudo deriva el teorema de Green usando un argumento similar donde$D$se corta en pequeños rectángulos. Consulte la sección 3-6 del volumen 2 de Feynman Lectures on Physics , por ejemplo, o el capítulo 3 (p. 76) de Div, Grad, Curl and All That. Sin embargo, los rectángulos no pueden aproximarse al límite de$D$con precisión, por lo que los autores generalmente comentan (sin dar detalles) que se puede dar un cálculo similar para triángulos pequeños en lugar de rectángulos pequeños. Creo que es poco elegante cortar$D$en triángulos y rectángulos. La forma natural de dividir una variedad es dividirla en paralelogramos o paralelepípedos. Este enfoque se generaliza muy bien para derivar el teorema de Stokes (incluso el teorema de Stokes generalizado) y el teorema de la divergencia. Di una derivación similar del teorema de Stokes aquí .

Soy un gran fanático de la intuición cuando enseño cálculo vectorial. La forma en que se lo explico a mis alumnos es:

Para la forma de flujo/divergencia, dibuje un círculo en su mostrador con un rotulador, luego vierta un vaso de agua sobre el mostrador dentro del círculo. El teorema de Green dice lo obvio: la cantidad de agua que cruza el círculo dibujado es igual a la cantidad de agua que salpica dentro del círculo mientras viertes el agua sobre el mostrador.

Para la forma de circulación/rizo, imagine colocar una gota de tinta en el borde de un fregadero de drenaje. La gota se trazará alrededor del borde del fregadero a medida que el fregadero se drena, y de nuevo el teorema de Green dice lo obvio: cuanto más rápido se drene el fregadero, más larga/más mezclada se volverá la mancha de tinta (es decir, la cantidad de circulación alrededor del el borde del desagüe depende de qué tan rápido esté girando el desagüe)

Si necesita una motivación, puede presentarles el Planímetro .

Es un pequeño dispositivo maravilloso que se usa para medir el área de una figura, siguiendo la página de wikipedia,

El tipo Amsler (polar) consta de un enlace de dos barras. Al final de un enlace hay un puntero, que se usa para trazar alrededor del límite de la forma que se va a medir. El otro extremo del enlace pivota libremente sobre un peso que evita que se mueva. Cerca de la unión de los dos eslabones hay una rueda de medición de diámetro calibrado, con una escala para mostrar la rotación fina y un engranaje helicoidal para una escala contadora de vueltas auxiliar. A medida que se traza el contorno del área, esta rueda rueda sobre la superficie del dibujo. El operador ajusta la rueda y gira el contador a cero si aún no lo están, luego traza el puntero alrededor del perímetro de la forma. Cuando se completa el trazado, las escalas en la rueda de medición muestran el área de la forma.

"¡¿Cómo funciona?!", tu estudiante puede preguntar. ¡Ahí es cuando introduces el Teorema de Green !