Lograr que los estudiantes no teman la confusión

¿Alguien ha probado como técnica adicional el método de "relleno"?

Esto se basa en el método de enseñanza probado y probado llamado "encadenamiento inverso". Para ilustrarlo, si le está enseñando a un niño a ponerse un chaleco, no le tira el chaleco y le dice que se lo ponga. En lugar de eso, te lo pones casi y le pides al niño que haga lo último, y así lo consigues. Te vas poniendo cada vez menos el chaleco, el niño siempre lo consigue, y finalmente puede ponérselo sin ayuda. Esto se llama aprendizaje sin errores y es un método probado y probado, particularmente en el entrenamiento de animales (¡casi el único método! Pregúntele a cualquier psicólogo, ya que lo aprendí de uno).

Así que hemos intentado escribir una prueba de que, digamos, el límite del producto es el producto de los límites (no es posible que un estudiante lo haga desde cero), luego borramos varios bits, que los estudiantes tienen que completar, usando las pistas de los otros bits no borrados. ¡Esto es bastante realista, donde un profesional escribe una prueba y luego busca los errores y las lagunas! El punto importante es que le está dando a los estudiantes la estructura de la prueba, por lo que también está enseñando algo.

¡Este tipo de ejercicio también es agradable y fácil de marcar!

Finalmente, el fracaso: ¡el secreto del éxito es la gestión exitosa del fracaso! Eso se puede enseñar moviéndose lentamente de pequeñas fallas a fallas prolongadas. Este es un método de enseñanza estándar.

Puntos adicionales: mi amigo y colega psicólogo me aseguró que el principio aceptado es que las personas (y los animales) aprenden del éxito . Esto también es en parte una cuestión de comunicación.

Otra forma de lograr este éxito es agregar tantos apoyos a una situación que el éxito esté asegurado, y luego quitar gradualmente los apoyos. Por supuesto, hay serios problemas al hacer todo esto en clases grandes. ¡Esto requerirá mucho ingenio de todos ustedes, jóvenes talentosos! Puede encontrar más discusión sobre los problemas en el artículo que analiza la noción de contexto versus contenido.

Mi propio desconcierto en la educación de los adolescentes no estaba, por supuesto, en las matemáticas, sino en el arte: no tenía idea de los conceptos básicos del dibujo y el bosquejo. ¿Qué se suponía que debía estar haciendo? Así que creo en el interés y la importancia de la noción de metodología en cualquier cosa que uno esté haciendo o tratando de hacer, y aquí hay un enlace a una discusión sobre la metodología de las matemáticas .

10 de diciembre de 2014 Haría otro punto, que es necesario observar , que debería compararse con un tutor de piano que escucha la interpretación de los alumnos. He intentado enseñar a grupos de, digamos, 5 o 6, donde no escribía nada en la pizarra, pero le pedía a un estudiante que fuera a la pizarra y hiciera uno de los ejercicios establecidos. "¡No sé cómo hacerlo!" "Bueno, ¿por qué no escribir la pregunta en la pizarra para empezar?" Luego procedíamos, dando pistas sobre la estrategia, que la observación acababa de mostrar que no estaba allí, pero con el estudiante escribiendo todo .

En un curso de análisis, cuando en una etapa tenemos que probar$A \subseteq B$, preguntaría a la clase: "¿Cuál es la primera línea de la prueba?" Luego: "¿Cuál es la última línea de la prueba?" y después de ayuda y algunas repeticiones captarían la idea. ¡Me temo que la gramática ha salido del plan de estudios de la escuela, como "pasada de moda"!

Ver las matemáticas resueltas en tiempo real, con fallos, y cómo un profesional lidia con el fallo, es fundamental para el aprendizaje, ya nivel de investigación. Recuerdo haber pensado después de una sesión de todo el día con Michael Barratt en 1959: "Bueno, si Michael Barratt puede probar una tontería tras otra, ¡entonces yo también puedo!", y he seguido este método desde entonces. (Tenga en cuenta que sus intentos no fueron tan "malditos tontos", pero estoy seguro de que entiende la idea). El secreto del éxito es el manejo exitoso del fracaso, y esto quizás se aprenda mejor observando cómo un profesional lidia con el fracaso. .

Solo una parte de esto será un intento de respuesta, porque mi primera reacción fue, sin rodeos, "una gran oportunidad". Los estudiantes estadounidenses, y veo que los tuyos son estadounidenses, han llegado a ti a través de un sistema que es mucho mejor para convertir las ambiciones de los estudiantes talentosos en obtener altas calificaciones que en una comprensión profunda. Incluso en una clase de matemáticas de nivel superior, la mayoría de sus alumnos no serán matemáticos. Es poco probable que aquellos que han llegado al último año o dos de su educación sin realmente comprometerse sean convertidos incluso por un maestro maestro, para quien la mejor oportunidad fue mucho antes.

Dejando a un lado todo pesimismo, lo que puede hacer depende mucho de cuán libre sea en el diseño del curso. Si imparte un curso en el que la calificación se decide en función de si las tareas semanales y un par de exámenes arrojan soluciones precisas, sus estudiantes intentarán producir una simulación decente de una solución precisa de la manera más eficiente posible, con algunas agradables excepciones. Varias ideas (no probadas): Involucra la escritura en tus tareas, tanto cuando un estudiante pueda como cuando no pueda encontrar una solución. En el primer caso, pídales que expresen cuidadosa y completamente lo que han pensado y con lo que se han topado. Esto, naturalmente, a menudo conducirá a un mayor éxito. Cuando lo logren, pídales que escriban algunas ideas sobre diferentes variaciones del problema, que deberían inventar ellos mismos: ¿Por qué es necesaria esta hipótesis? ¿Podría debilitarlo? ¿Qué pasa si modifico ligeramente esta serie? Podrías mostrarleseste consejo de Terry Tao, así como sus notas sobre la valoración del progreso parcial y sobre cómo hacerse preguntas tontas, para este fin.

El principio general que propongo es que si desea que los estudiantes pasen tiempo perdidos y confundidos, recompénselos por hacerlo y luego dígaselo. Incluso consideraría calificar mejor a un estudiante que no pudo probar el MVT del teorema de Rolle, pero escribió tres intentos plausibles y completos diferentes que uno que solo dijo "Definir$g(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x-f(a).$Rolle se aplica a$g$en$c$. MVT está satisfecho allí por$f$.” Los exámenes, naturalmente, no soportarían las mismas condiciones, ya que nadie debería salir del análisis real sin poder hacer eso último.

Una cosa importante que me ayudó a pasar por Introducción al análisis real es leer un poco sobre lógica e introducción a las pruebas. Aprendiendo algunas técnicas de demostración, cuáles son las formas de atacar un problema. Eso es lo que los estudiantes nunca aprenden en Cálculo y esa es la razón principal por la que es difícil pasar de Cálculo a Análisis real.

Entonces, lo que recomendaría es ofrecer lecturas complementarias sobre ese tema: lógica e introducción a las demostraciones. El libro que utilicé fue S. Lay, Análisis con introducción a las pruebas. La lógica y la introducción a las pruebas son los primeros capítulos, probablemente los mejores de todo el libro (no me preocupé especialmente por la parte del "análisis"). Estoy seguro de que hay muchos otros libros similares y bueno, pero ese es el que me ayudó a tener un buen comienzo con Baby Rudin.

He trabajado muchas horas de oficina, en el camino, en matemáticas, física y economía cuantitativa. Mis pensamientos:

1) Los estudiantes necesitan superar la 'fobia a las matemáticas'. Muchos estudiantes temen estar 'equivocados', porque eso se considera un fracaso, un defecto de carácter (o más profundo), o lo que sea. Debido a que las matemáticas tienen respuestas exactas, temen eso.

2) Más bien, necesitan ver que es un 'rompecabezas' que, como un crucigrama, es entretenido (con suerte) o al menos no crítico. Muchas personas no terminan los crucigramas, pero intentan y disfrutan el proceso.

3) En cualquier cosa, es importante darse cuenta de que la lucha es el viaje. Tuve un profesor que siempre les decía a los estudiantes "para un estudiante, la confusión es un estado de gracia".

Estos son vagos, pero en realidad es más psicológico que cualquier otra cosa, en mi experiencia. Las personas no se sienten tan estresadas tratando de aprender a jugar tenis o golf, o tratando de escalar rocas, etc.; saben que es un largo camino hacia la maestría, y los primeros intentos son los más difíciles. Pero, con las matemáticas, se dan por vencidos, temiendo que nunca tendrán éxito.

He hecho mucho de mi enseñanza uno-a-uno, y siempre le pido al alumno que intente el siguiente paso y lo ayudaré sin juzgarlo (una red de seguridad), además de reforzar cada vez que haga un movimiento en el dirección correcta (incluso si en realidad es incorrecta). Con el aprendizaje de un deporte, obtienen su propia retroalimentación positiva, porque conocen su objetivo: golpear la pelota, en línea recta, por más de 200 yardas. Y cuando golpean bien una pelota de golf (lo que saben si lo hicieron), incluso si es poco frecuente, es algo que aprehenden y les hace sentir bien.

Sin embargo, si tuviera un gran consejo, que viene de mucho tiempo como TA, es este: no dejes que tu propio ego se interponga en el camino. Con demasiada frecuencia encuentro que el problema no es el estudiante sino el profesor. Todo el mundo sabe que usted sabe la respuesta. Pero, creo, el arte de enseñar es saber lo que el estudiante no sabe ahora que necesita saber a continuación . Con demasiada frecuencia veo una idea simple convertida en una pregunta compleja que viola esto. Por ejemplo, los físicos a menudo son terribles en esto: mientras introducen las leyes de Newton, pasan rápidamente a problemas de una placa sin fricción sobre hielo sujeta a una fuerza, con un objeto sobre esa placa sin fricción sujeta a otra fuerza, y quieren que el estudiante encuentre el posición del objeto sobre el hielo en función del desplazamiento de la placa inferior...

Hay una historia tal vez apócrifa de Einstein ayudando a un niño con álgebra. Cuando el niño se quejó de que él (en realidad, creo que era ella) no podía resolver los problemas correctamente, Einstein respondió del siguiente modo: "si crees que tienes problemas para resolver la mayoría de los problemas, no te preocupes, lo harías". sorpréndase al ver que pocos de los problemas en los que trabajo no puedo responder'.

(Además de otras buenas respuestas, y haciéndose eco de algunas partes...) Creo que no es tanto que los alumnos teman la confusión, sino que ven la confusión como un fracaso. No fallar en comprender (porque "comprender" no es su objetivo), sino fallar en obtener la calificación que quieren (en muchos o la mayoría de los casos...)

A menos que podamos descubrir cómo recompensar a los estudiantes, en términos que puedan apreciar, por un compromiso suficiente para confundirlos, y luego trabajar en ello, no tendrán motivación para hacerlo o pensar de esa manera. El argumento "es bueno para ti" tiene un impacto limitado, si no es manifiestamente/visiblemente útil, según sus criterios (a menudo equivocados).

También hay un trasfondo desafortunado de un sistema de creencias que la "formalización suficiente", también conocida como "un sistema suficiente de reglas" o "estudio de la lógica de predicados de primer orden", eliminará la complicada y amorfa necesidad de pensar de una manera nueva. , con una transición incómoda a esa nueva forma. En mi observación, esto es (lamentablemente) atractivo porque permite a los estudiantes mantener las matemáticas "externas" a ellos, eximiéndolos de pensar mucho en ellas. "Simplemente aprende las reglas", en oposición a "entiende por qué las llamadas reglas pretenden ser una opción de codificación de aspectos de la realidad".

Y, de hecho, bastantes confusiones tienen que ver con la convención , más que con el hecho matemático . Por supuesto, pocas personas pueden intuir las convenciones , por muy razonables que sean. Estar confundido acerca de las opciones de convención está bien y no requiere mucha reflexión. Estar confundido acerca de los hechos, por supuesto , merece una mayor reflexión. Creo que ayudar a los estudiantes a distinguir los dos tipos de problemas es quizás uno de nuestros principales trabajos.

Iría tan lejos como para afirmar/observar que la "definición" epsilon-delta de "límite" es en sí misma solo una convención posible que hace (más) preciso un sentido primitivo y coloquial de "límite". En particular, muchas de las características son cuestiones de convención, por lo que no pueden "deducirse", y este tipo de complicación merece un reconocimiento explícito.