¿Cuál es el uso correcto de f:X→Yf:X→Yf: X \to Y y f:P(X)→P(Y)f:P(X)→P(Y)f: \mathcal{P} (X) \to \mathcal{P}(Y) en la escritura de prueba.

Es una notación sobrecargada, seguro. Pero nunca he visto que signifique algo más que lo siguiente:

Dejar$f : X \to Y$. Entonces para$A \subseteq X$,$f(A) := \{ f(x) : x \in A \}$.

La razón por la que no se notan mucho es probablemente porque es una convención muy común. Incluso puede ser explícito en algún momento en algunos libros sobre Real Analysis.

Resulta que los teóricos de conjuntos suelen ser más explícitos en la diferencia al dejar que$f[A] = \{ f(x) : x \in A\}$por lo que uno no está confundido acerca del dominio de la$f$en cuestión.

La definición de$f$no está cambiando$f(U)$es simplemente notación estándar para la imagen de$U$bajo$f$, y de manera similar para la imagen inversa$f^{-1}(U)$. Por supuesto$f:X \to Y$no es la misma función que su función de imagen directa, que podría denotar$\mathcal{P}(f):\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y)$si realmente quisieras

Si te interesa la teoría de categorías, podemos interpretar el conjunto potencia como un endofuntor de la categoría de conjuntos. se asocia a un conjunto$X$su conjunto de poder$\mathcal{P}(X)$, y a un morfismo (función)$f:X \to Y$la función de imagen directa$\mathcal{P}(f):\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y)$. De manera similar, existe un funtor de conjunto de potencia contravariante que asigna una función a su función de imagen inversa.

Algunos autores utilizan una notación diferente, es decir, para$f\colon A\to B$, la función de imagen directa asociada se denota$f_\to\colon \mathcal P(A)\to \mathcal P(B)$. Sin embargo, dado que esta asociación es muy común, es estándar escribir simplemente$f$para la función de valor establecido extendida, sin previo aviso como usted dice.

Se debe tener cierto cuidado, ya que, por ejemplo, si$A=\{1, \{1\}\}$y$f\colon A\to \mathbb N$es dado por$f(1)=17$y$f(\{1\})=243$, entonces hay una gran diferencia entre$f_\to (\{1\})$y$f(\{1\})$. Básicamente, cuando no se hace una distinción notacional, asumimos que el contexto determina el significado preciso.