Evaluar limn→∞((15)n+([(1+0.0001)10000])n)1nlimn→∞((15)n+([(1+0.0001)10000])n)1n\lim_{n \to \infty } ((15)^n +([(1+0.0001)^{10000}])^n)^{\frac{1}{n}}

Pista: desde

$$\lim_n \left(1 + \frac 1n\right)^n = \mathrm e \in [2,3],$$ ¿entonces la parte integral de tu expresión debería ser…?

ya que para todos$n\in \mathbb{N}$

$$2\le\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \le e < 3$$

tenemos eso

$$\left((15)^n +\left[\left(1+\frac1{10000}\right)^{10000}\right]^n\right)^{\frac{1}{n}}= \left((15)^n +2^n\right)^{\frac{1}{n}}=15 \left(1 +(2/15)^n\right)^{\frac{1}{n}}\to 15$$

Pista:

$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^n \le e < 3$$

Dejar$a = 15, b = [(1+10^{-4})^{10000}]=3$. Tenemos que a > b. Entonces:

$$\begin{align} (a^n+b^n)^{\frac{1}{n}} &= \exp\left(\frac{1}{n}\ln(a^n+b^n)\right) \\ &= \exp\left(\frac{1}{n}\left(\ln(a^n)+\ln\left(1+\left(\frac{b}{a}\right)^n\right)\right)\right) \\ &= a\cdot\exp\left(\frac{1}{n}\left(\frac{b}{a}\right)^n+o\left(\frac{1}{n}\left(\frac{b}{a}\right)^n\right)\right) \\ & \underset{n\infty}{\longrightarrow}a \end{align}$$ .