Sobre la anomalía axial

Sé que si empezamos con una teoría masiva, los estados quirales L y R permanecen acoplados entre sí en el límite sin masa. Porque una partícula de Dirac cargada de una helicidad dada puede hacer una transición a un estado virtual de la helicidad opuesta emitiendo un fotón real (este es el origen físico de la anomalía). Además, la falta de masa de una teoría de campo de Dirac se expresa mediante la invariancia bajo una transformación quiral.

ψ ( X ) → mi − i ω γ 5 ψ ( X ) .

Del teorema de Noether, la invariancia quiral da una corriente de vector axial conservada

j 5 m = ψ ¯ γ m γ 5 ψ ,

y de la EoM para los campos de Heisenberg encontramos

∂ m j 5 m = 2 metro j 5 ,

dónde j 5 es la densidad quiral y metro es la masa. Esto es lo que no entiendo: espero que en el límite metro → 0 esto debería ser cierto ∂ m j 5 m → 0 . Pero no lo es. Todos los libros de texto dan

∂ m j 5 m = 2 metro j 5 + α 0 2 π F ¯ m v F m v .

No puedo descifrar este resultado. No sé cómo derivarlo o cuál es su interpretación física.

¡Esos mismos libros de texto tienen derivaciones de la anomalía! Véase, por ejemplo , los capítulos 75-77 de Srednicki . Tenga en cuenta que hay muchas derivaciones diferentes de la anomalía, cada una de las cuales destaca diferentes aspectos de la física subyacente. QFT de Zee en pocas palabras tiene la versión estándar en Ch IV.7, con un catálogo de varias derivaciones. Shifman tiene una gran discusión física que se enfoca en el lado IR menos escuchado de la anomalía.
La idea física básica es que necesita un regulador, pero no existe ninguno que conserve la invariancia quiral. El término de intensidad de campo sobrevive en el límite que el regulador desaparece. Esto se puede considerar como el campo de calibre que causa una reestructuración del vacío de fermiones (cf. Shifman).
Estas notas de McLerran y estas notas de Shaposhnikov describen lo que entiendo por reestructuración del vacío.
Una forma más formal es utilizar el punto de vista de Fujikawa sobre la no invariancia de la medida integral de trayectoria, consulte esta lección .

Respuestas (2)

Permítanme agregar algunos comentarios a la respuesta/comentario de Michael Brown. Como mencionó, un QFT está bien definido con una acción a norte d un regulador Siempre deseamos usar reguladores que preserven la invariancia de calibre, ya que esa es una redundancia de nuestra descripción y no debe eliminarse en nuestra teoría cuántica. Sin embargo, cualquier regulador que preserve la invariancia de calibre, necesariamente viola la invariancia quiral. P&S menciona la posibilidad de tener reguladores calibre no invariantes que preserven la invariancia quiral, pero esta no es una definición deseable de nuestra teoría.

Otra forma de ver esto es que los reguladores habituales que se utilizan para definir una teoría son la regularización dimensional y Pauli-Villars. PV requiere la introducción de una masa de fermión (grande) y rompe explícitamente la simetría quiral. El problema con Dimreg es más sutil. La simetría quiral implica la γ 5 matriz que sólo está bien definida en d = 4 . Cuando se extienden las dimensiones a d = 4 − ϵ , hay que tener cuidado con el tratamiento de γ 5 . Resulta que mientras la simetría quiral se restablece en las 4 dimensiones, no lo está en las − ϵ dimensiones (matemáticamente). Esto es lo que nos da la anomalía axial. P&S tiene una discusión sobre cómo tratar el γ 5 matriz en d = 4 − ϵ .

Todo esto se discute en el Capítulo 19 de P&S

Hiciste la pregunta correcta, yo también estaba pensando en eso cuando leí sobre la anomalía axial.

A continuación se muestra cómo me lo expliqué a mí mismo.

Como mencionó en su pregunta, "... una partícula de Dirac cargada de una helicidad dada puede hacer una transición a un estado virtual de la helicidad opuesta emitiendo un fotón real (este es el origen físico de la anomalía)".

Tenga en cuenta que

F ¯ m v F m v = − 2 mi B

dónde mi y B son las intensidades de campo eléctrico y magnético.

En el caso del fotón mi ⊥ B , y por lo tanto mi B = 0 .

En consecuencia, en el límite de masa cero se conserva la simetría quiral:

∂ m j 5 m = α 0 2 π F ¯ m v F m v = 0 .

EDITAR:

De hecho, la ecuación espinorial para fermiones sin masa (como la ecuación de Dirac donde metro = 0 ) es siempre equivalente a las ecuaciones de Maxwell sin fuente. Véase, por ejemplo, este enlace .

No creo que esto sea correcto. El término adicional es un efecto puramente mecánico cuántico y, como se explica en las otras respuestas, se debe a una elección de regularización.
No veo cómo tu comentario está relacionado con mi respuesta. No quise decir que el término adicional se deba a alguna otra razón que no sea la inconsistencia de la regularización con la conservación simultánea de las corrientes axial y vectorial. Solo quiero decir que en el caso de los fotones (ondas EM transversales) F ¯ m v F m v = 0 .
El fotón no propaga solo ondas EM. Los fotones también propagan solo campos magnéticos o solo campos eléctricos. Entonces, la afirmación de que en el caso de los fotones mi ⋅ B = 0 Está Mal. Sin embargo, se podría decir, en el caso de las ondas EM, mi ⋅ B = 0 .
¿No crees que incluso en el caso de campos eléctricos (y magnéticos) mi B = 0 ?
Bueno, ese fue solo un ejemplo aleatorio. Podría haber un campo eléctrico y magnético arbitrario con mi ⋅ B ≠ 0 .
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