¿Por qué las propiedades topológicas se describen mediante términos superficiales?

Un ejemplo son las anomalías en las teorías cuánticas de campo abeliana y no abeliana.

Por ejemplo, la anomalía abeliana es F ~ m v F m v y la integral sobre esta cantidad es una invariante topológica que mide una característica topológica del campo de norma A m .

Todas estas cantidades pueden reescribirse como derivadas totales y luego, usando la ley de Gauss, transformarse en una integral de superficie.

¿Cuál es la razón intuitiva por la que las cantidades que describen propiedades topológicas siempre pueden escribirse como integrales de superficie?

¿Porque de lo contrario influirían en las ecuaciones de movimiento y no serían topológicos por definición?
@SolenodonParadoxus Los términos de superficie no influyen en las ecuaciones de movimiento y eso es lo que los hace diferentes. Hasta aquí todo bien. Ahora, mi problema es ver la conexión con la topología. Tal vez un mejor ejemplo es la helicidad hidrodinámica en.wikipedia.org/wiki/Hydrodynamical_helicity , que también es una cantidad topológica y se describe mediante un término de superficie. Describe el "anudamiento de las líneas de vórtice en el flujo". ¿Por qué describimos tal característica topológica del sistema con una integral de superficie?
@SolenodonParadoxus Formulado un poco diferente: ¿Por qué las propiedades topológicas siempre están completamente codificadas en el límite del sistema?
-1. No es claro. ¿Estás preguntando por qué funciona el teorema de la divergencia ?
@sammygerbil No. Estoy preguntando por qué una cantidad topológica, como el ""nudo de las líneas de vórtice en el flujo" o el "bobinado de las funciones de calibre" está completamente determinada por una integral de superficie, es decir, completamente codificada en el límite del sistema.
Hay términos topológicos que influyen en las ecuaciones de movimiento. Un ejemplo famoso son los términos de Chern-Simons. ¡En el QED tridimensional de Chern-Simons-Maxwell, separan el fotón! Tal término de Chern-Simons es topológico en el sentido de que no necesita una estructura métrica y en que es sensible a la topología de la variedad en la que se define la teoría.

Respuestas (3)

Te estoy dando una respuesta desde el punto de vista de la cuantización integral del camino.

Cuando cuantificamos una teoría de calibre, necesitamos sumar todas las configuraciones de conexiones de un grupo de calibre en alguna transformación de calibre de módulo múltiple.

A diferencia del espacio afín de todas las conexiones (sin dividir por transformación de calibre), este último espacio (de conexiones módulo de transformación de calibre) puede desconectarse correspondiente a diferentes sectores de paquetes que no pueden deformarse entre sí por ninguna combinación de difeomorfismo de la base deformaciones múltiples o continuas de las funciones de transición de la fibra.

En la teoría cuántica, es absolutamente necesario sumar todos los sectores topológicos en la integral de trayectoria. Por ejemplo, si no hacemos eso en el problema de una partícula que se mueve en un círculo, no obtendremos la respuesta correcta dada por la ecuación de Schrödinger.

Chern y Weil (ver la siguiente exposición de Fecko) descubrieron un profundo teorema de que existen invariantes topológicos que diferencian entre fibrados principales o vectoriales, con el mismo grupo de estructura, que se puede expresar mediante ciertos polinomios de la curvatura de la conexión . Estas invariantes topológicas no dependen de la conexión (son invariantes de calibre) ni de las intensidades de campo, sino solo del haz. Además, estas invariantes topológicas -llamadas clases características- pueden expresarse mediante clases de cohomología de la variedad base (por eso son cerradas).

Por lo tanto, podemos usar estos invariantes para pesar diferentes paquetes en la integral de trayectoria porque no dependen de las conexiones ni de los campos sino solo de los paquetes.

Hay otras invariantes topológicas que no pueden escribirse en términos de formas diferenciales, como las clases de Stiefel-Whitney, de las que depende la existencia de fermiones en la variedad. Estos invariantes también afectan la integral de trayectoria, sin embargo, se necesitan técnicas más avanzadas para tenerlos en cuenta.

Vale la pena mencionar que no todas las formas cerradas en la variedad base son una imagen de una clase característica (o pueden escribirse como una combinación de clase característica). Así, como términos topológicos, podemos considerar sólo tipos especiales de formas cerradas.

¡Muchas gracias! Las notas expositivas de Fecko son asombrosas. Una pregunta: ¿Cuál es la interpretación de los "diferentes paquetes" que necesitamos sumar aquí? Sé que obtenemos un paquete muy diferente, por ejemplo, cuando hay un monopolo presente en comparación con la caja de vacío. Sin embargo, no sorprende que los paquetes sean diferentes para sistemas físicamente diferentes y no sería necesario sumarlos. Por lo tanto, supongo que estás hablando de paquetes no equivalentes para un sistema, como, por ejemplo, el vacío. ¿Los paquetes no equivalentes que menciona corresponden, por ejemplo, a diferentes instantes (devanado 1, 2, etc.)?
Sí, los diferentes paquetes en el caso de QCD son los paquetes instantáneos. Todos describen diferentes configuraciones de un solo sistema, a saber, QCD.

Prácticamente cada vez que un físico dice "invariante topológica", se refiere a una invariante topológica de un paquete vectorial (el paquete vectorial en el que los campos toman valores, por lo general), el más común de los cuales son las clases de Chern .

Las clases de Chern se pueden expresar como integrales de polinomios en la curvatura (no importa qué curvatura, incluso si la teoría física no contiene un campo de calibre, simplemente puede elegir/construir uno ad hoc) ∫ F ∧ F , y sucede que estos polinomios en la curvatura son derivadas localmente totales de sus formas asociadas de Chern-Simons . Entonces, en el nivel de rigor de la física donde ahora generalmente se ignora el "localmente", las integrales de los polinomios en la curvatura que producen las clases de Chern son integrales de derivadas totales, por lo tanto, "términos de límite". La historia matemática más profunda de por qué los polinomios de curvatura que representan las clases de cohomología integral de un paquete en la cohomología de DeRham deben ser derivadas totales es la historia de las clases características secundarias y la cohomología diferencial .

Sin embargo, debe enfatizarse que una vez que tratamos de ser un poco más rigurosos que el físico promedio, las clases de Chern no son "términos superficiales". De hecho, esa terminología no tiene ningún sentido porque son invariantes de paquetes vectoriales sobre variedades ordinarias, y las variedades ordinarias no tienen un límite: cualquier "término de superficie" simplemente desaparece en una variedad compacta y está potencialmente mal definido. en los no compactos. Lo que realmente sucede es que, una vez más, el físico oculta la propiedad global de un paquete en algo así como un espacio-tiempo compactado. S 4 con solo mirarlo en uno de los parches de coordenadas, empujando toda la estructura del segundo parche necesario "hasta el infinito", es decir, "a la superficie", precisamente como en esta respuesta mía a su pregunta sobre transformaciones de gran calibre.

Además, el "término de superficie" generalmente conlleva algún tipo de connotación de que la elección de la función en la superficie aún importa, pero no es así, la clase de Chern es independiente de la elección de la conexión , como debería ser un verdadero invariante topológico . es únicamente una función de la clase de homeomorfismo topológico del paquete. Usar algún tipo de campo de calibre/curvatura para calcular el invariante topológico es simplemente una muleta porque a menudo es más fácil que los cálculos topológicos "más puros", especialmente para los físicos que no conocen dicha topología.

Esta no es una respuesta completa, pero la daré para contemplar algunos aspectos que no se cubren en las (buenas) respuestas anteriores y se mencionan explícitamente en el comentario del OP:

Estoy preguntando por qué una cantidad topológica, como el ""nudo de las líneas de vórtice en el flujo" o el "bobinado de las funciones de calibre" está completamente determinada por una integral de superficie, es decir, completamente codificada en el límite del sistema.

En este caso, las invariantes topológicas a las que te refieres están relacionadas con las clases de homotopía . Específicamente, en el caso de las teorías de calibre, buscamos soluciones de energía finita (o tensión en el caso de una línea de vórtice) y esto impone algunas restricciones en los campos asintóticos. Cada término (no negativo) en la densidad hamiltoniana H tiene que desaparecer lo suficientemente rápido a medida que los campos se acercan al infinito espacial. En particular, el potencial V tiene que desaparecer asintóticamente. Esto significa que el campo escalar pertenece a la variedad de vacío cuando r → ∞ . Este campo asintótico proporciona un mapa desde el infinito espacial (que depende de la dimensión espacial del modelo) hasta la variedad de vacío y diferentes configuraciones (diferentes mapas) se clasifican en clases equivalentes según grupos de homotopía. Los mapas que pertenecen a diferentes clases no se pueden deformar continuamente entre sí y es por eso que se dice que los mapas no triviales (número de devanado no trivial, por ejemplo) son topológicamente estables o protegidos. Como puede ver, las invariantes topológicas (a saber, las clases de homotopía) en estos modelos están codificadas en los campos asintóticos o en el límite del sistema.

¡gracias por tu respuesta! Sin embargo, lo que señalas es exactamente lo que me confunde. El devanado del campo no ocurre en el infinito espacial. Todas las configuraciones de campo de calibre y todas las transformaciones de calibre que nos interesan son triviales en el infinito espacial. El devanado ocurre en el bulto y no en el límite. Suprimiendo la dimensión del tiempo y restringiendo a una dimensión espacial, creo que así es como una transformación de calibre con el devanado número 1 para tu ( 1 ) se parece a: i.stack.imgur.com/mshyZ.png . Un trafo de calibre con devanado 0 sería el que tiene todas las flechas apuntando hacia arriba, etc.
(La imagen está adaptada de la página 557 de Geometry of Physics de Frankel). Cuando nos limitamos a medir transformaciones que son triviales en el infinito y configuraciones de campo que son triviales en el infinito, el infinito espacial es solo un punto y, por lo tanto, podemos compactar nuestras 3 dimensiones espaciales para S 3 . Por lo tanto, no estoy seguro de lo que quiere decir con mapas de "infinito espacial" a la variedad de vacío.
@JakobH ¿Por qué dice que el devanado de los campos ocurre a granel? Consideremos un ejemplo concreto: (3+1) Yang-Mills-Higgs. Luego, el devanado ocurre en el infinito, no en la mayor parte. Tenga en cuenta que lo que quiero decir con infinito es "suficientemente lejos del núcleo". El número de vueltas de una cuerda cósmica se cuenta lejos de su núcleo. Lo mismo para el devanado de un monopolo. El punto es que si dos configuraciones asintóticas (lejos del núcleo) no pueden deformarse continuamente entre sí, el campo para todo el espacio tampoco puede hacerlo.
@JakobH Con respecto al ejemplo que mencionó, desde allí está mapeando R a S 1 y luego proyectas estereográficamente R sobre S 1 − norte o r t h PAGS o yo mi . Terminas con un mapa. S 1 − norte o r t h PAGS o yo mi → S 1 . Esto suena artificial si queremos hablar de número de vueltas ya que esto se puede definir como el número de veces que cubrimos la imagen. S 1 a medida que damos una vuelta en el dominio S 1 . En cualquier caso, el hecho de que esto dependa del volumen es muy particular de ese ejemplo unidimensional.
@JakobH En el ejemplo de vórtices o monopolos, la transformación de calibre no es trivial en absoluto en el infinito. De hecho (como se discutió en la respuesta), el campo escalar asintótico pertenece a la variedad de vacío y lo obtenemos mediante una transformación de calibre no trivial (transformación de calibre grande) a un punto arbitrario ϕ 0 . Para el monopolo 't Hooft-Polyakov, por ejemplo, la transformación explícita es gramo ( θ , ϕ ) = Exp ⁡ ( − i norte ϕ T 3 ) Exp ⁡ ( − i θ T 2 ) Exp ⁡ ( i norte ϕ T 3 ) dónde T i forma un s tu ( 2 ) álgebra...
@JakobH ... Esta transformación gira el vacío ϕ 0 = ( 0 , 0 , 1 ) a una configuración que no es homotópica al vacío. En particular, si norte = 1 esto da la configuración de erizo asintótico en el espacio interno del álgebra s tu ( 2 ) , que está protegido topológicamente contra la deformación al vacío.
El ejemplo que mencioné junto con mis afirmaciones sobre la trivialidad de las transformaciones de calibre en el infinito están motivados por el tratamiento habitual del vacío QCD, los instantes, etc. Allí, siempre solo se consideran las transformaciones de calibre que son triviales en el infinito y las dimensiones espaciales se compactan para S 3 . Ahora veo que los ejemplos que mencionas están relacionados con defectos topológicos y no con solitones o el vacío. Si no recuerdo mal, la idea para darse cuenta de estos defectos es imaginar una gran esfera que rodea al monopolo.
A tu ( 1 ) El monopolo hace sentir su presencia porque el paquete ya no es trivial, sino dado por S 3 sobre S 2 . En este caso, estoy de acuerdo en que, de hecho, una propiedad topológica está codificada completamente en el límite. ¡Gracias!
¿Por qué las propiedades topológicas se describen mediante términos superficiales?
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