Posible error tipográfico en QFT de Schwartz, p. 629

Estoy tratando de ver si este es mi propio malentendido o un error tipográfico en el libro QFT de Schwartz. Cualquier ayuda o comentario apreciado.

Schwartz habla de anomalías quirales de la medida integral. La transformación de campos es:

$$\psi \to e^{i \beta(x) \gamma_5} \psi$$

La medida se transforma como:

$$\int {\cal{D}}\psi {\cal{D}} \overline{\psi} \to \int \frac{1}{|{\cal{J}}|^2} {\cal{D}}\psi {\cal{D}} \overline{\psi}$$

Usando${\cal{J}} = \det \Delta = \exp tr \ln \Delta$, entramos (30.60):

$${\cal{J}} = \exp\left(i \int d^4x \, \beta(x) Tr\left[\gamma_5\right] \right)$$

Ahora Schwartz dice que esto parece desaparecer y, por lo tanto, la medida se vuelve singular.

¿No es lo único que desaparece en esa fórmula?$Tr\left[\gamma_5 \right]$? Si este es el caso, no debería$\cal{J}$ser igual a 1?

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El tratamiento de Weinberg de esto es bastante diferente y posiblemente también tenga un error (aunque tampoco estoy seguro de esto) :

$$\frac{1}{|{\cal{J}}|^2} = \exp \left\{ i \int d^4x \, \alpha(x) {\cal{A}}(x) \right\}$$

$${\cal{A}}(x) = -2 Tr \left\{ \gamma_5 \right\} \delta^4(x - x)$$

En mi entendimiento$\delta^4(x - x)$no debería estar realmente allí. Por ejemplo, dado${\cal{U}} = \alpha(x)$la traza debe ser:

$$Tr \left\{ {\cal{U}} \right\} = \int d^4x \, \alpha(x)$$

¿También hay un error?

Actualización Después de pensarlo un poco, veo que Weinberg tiene razón (como siempre). Debe haber un infinito proveniente de la función delta en este tipo de traza, por ejemplo, una transformación como:

$$\psi \to 2 \psi$$

Debería tener un jacobiano infinito ya que multiplicamos el campo en cada punto del espacio-tiempo.