Teorema de Uhlmann: prueba de tr(A†B)=⟨m|A⊗B|m⟩tr(A†B)=⟨m|A⊗B|m⟩\text{tr}(A^{\dagger} B ) = \ ángulo m | A \otimes B |m\rangle [cerrado]

En p228, Capítulo 9 del texto de Mark Wilde, en el curso de probar el teorema de Uhlmann para la fidelidad cuántica, afirma

$$\sum_{i,j} \langle i|^R \langle i|^A (U^R \otimes (\sqrt{\rho}\sqrt{\sigma})^A) |j\rangle^R |j\rangle^A$$ $$=\sum_{i,j} \langle i|^R \langle i|^A (I^R \otimes (\sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}U^T)^A) |j\rangle^R |j\rangle^A$$ que son las ecuaciones (9.97) y (9.98) en el texto antes mencionado.

Por su parte, en el texto de Nielsen & Chuang, el ejercicio 9.16 requiere demostrar que

$$\text{tr}(A^{\dagger} B) = \langle m | A \otimes B |m\rangle$$ para $|m\rangle = \sum_{i} |i\rangle|i\rangle$dónde $\{ |i\rangle \}$es una base ortonormal en algún espacio de Hilbert y A y B son operadores en ese espacio.

Cada cosa anterior es crucial en la prueba del teorema de Uhlmann en el libro de texto respectivo, pero no tengo idea de por qué se mantienen.$\text{tr}(A^{\dagger} B) = \sum_{i,j} {a_{ij}}^{*}b_{ij}$mientras$\langle m | A \otimes B |m\rangle = \sum_{i,j} {a_{ij}} b_{ij }$Entonces, ¿por qué son iguales? ¿Alguien podría darme alguna pista?