¿Cómo encuentra el operador de proyección en un espacio propio si no conoce el vector propio?

Estaba trabajando en el ejercicio 2.60 de Nielsen-Chuang que es el siguiente:

Muestra esa v → ⋅ σ → tiene valores propios ± 1 , y que los proyectores en los espacios propios correspondientes están dados por PAG ± = I ± ( v → ⋅ σ → ) / 2 .

escribí v = a X → + b y → + C z → , entonces v → ⋅ σ → es una matriz con elementos C , a − b i , a + b i , − C . Entonces pude resolver los valores propios ± 1 al encontrar λ para el cual el determinante de v → ⋅ σ → − λ I es 0 . Pero estoy teniendo más problemas con la segunda parte del problema.

Normalmente, simplemente resolvería el vector propio para cada valor propio y lo usaría para encontrar el operador de proyección, pero cada vez que intento resolver el vector propio obtengo 0 = 0 . Por ejemplo, para el valor propio de 1 Obtengo las siguientes dos ecuaciones:

( C − 1 ) X + ( a − b i ) y = 0
( a + b i ) X + ( − C − 1 ) y = 0
y cuando trato de cancelar el y condiciones que obtengo ( a 2 + b 2 + C 2 − 1 ) X = 0 que es solo 0 = 0 .

Dicho esto, la forma de la respuesta me hace pensar que hay una manera más fácil.

I + ( v → ⋅ σ → ) es solo v → ⋅ σ → − λ I para λ = − 1 . y I − ( v → ⋅ σ → ) es el negativo de v → ⋅ σ → − λ I para λ = 1 . Y luego hay un 1 2 factor por lo que la suma de los operadores de proyección es I . ¿Alguien puede explicar por qué esto es cierto y cómo uno puede encontrar los operadores de proyección desde cero si no conoce los vectores propios? (Puedo mostrar que estos son operadores de proyección, pero no sé cómo los encontraría sin que la pregunta me diga explícitamente qué son).

Además, ¿alguien podría decirme cómo resolver el sistema de ecuaciones anterior?

Votaré para cerrar ya que esta es una pregunta puramente matemática. Dicho esto, hay una forma casi trivial de probar esta afirmación, porque ya tienes la respuesta: a) Demuestras que PAG ± son proyecciones con PAG + PAG − = 0 . b) echar un vistazo a PAG + − PAG − y pensar en la singularidad de la descomposición espectral.
¿Hay alguna manera fácil de encontrar las proyecciones desde cero sin encontrar primero los vectores propios? Sé cómo verificar que los operadores dados son proyecciones.

Respuestas (2)

De hecho, hay una manera de construir los operadores de proyección, cuando solo conoce el operador en sí y sus valores propios. La derivación se puede encontrar en Julian Schwinger "Mecánica cuántica: simbolismo de la medición atómica" y conduce a

PAG j = ∏ i ≠ j A − a i a j − a i ,

donde el producto pasa por todos los valores propios distintos a i de A . Es bastante fácil de ver, que de hecho cumple

PAG i | ψ j ⟩ = d i j | ψ j ⟩ ,
donde no se implica sumatoria.

Si aplica esto a su problema, obtiene los proyectores (correctos)

PAG + = v → ⋅ σ → − ( − 1 ) 1 − ( − 1 ) = I + v → ⋅ σ → 2 PAG − = v → ⋅ σ → − 1 ( − 1 ) − 1 = I − v → ⋅ σ → 2

¿En qué página se puede encontrar la derivación?
@AlexProvost: covariante de Frobenius .

Los vectores propios son indeterminados hasta un múltiplo escalar. Entonces, por ejemplo, si c = 1, la primera ecuación ya es 0 = 0 (no se necesita trabajo) y la segunda requiere que y = 0, lo que nos dice que x puede ser cualquier cosa. Esto está bien y es correcto, ya que X = r mi i θ , y = 0 es una buena solución cuando c=1.

Si C ≠ 1 entonces ninguna de las ecuaciones ya es 0=0, así que podemos elegir la que queramos y usarla para resolver x en términos de y o y en términos de x. Esa solución también funcionará en la otra ecuación.

Por ejemplo, tomando sus ecuaciones:

( C − 1 ) X + ( a − b i ) y = 0 ,
( a + b i ) X + ( − C − 1 ) y = 0.

Puedo resolver la segunda ecuación y notar que

X = a − b i a 2 + b 2 ( C + 1 ) y = 0
resuelve
( a + b i ) X + ( − C − 1 ) y = 0.

Pero

X = a − b i a 2 + b 2 ( C + 1 ) y
también resuelve
( C − 1 ) X + ( a − b i ) y = 0
porque

( C − 1 ) a − b i a 2 + b 2 ( C + 1 ) y + ( a − b i ) y
es igual

( a − b i ) y ( C 2 − 1 a 2 + b 2 + a 2 + b 2 a 2 + b 2 ) = 0.

Si c=1 la solución es x=lo que sea, y=0. Si c no es 1 entonces la solución es y=lo que sea, X = ( a − b i ) ( C + 1 ) y / ( a 2 + b 2 ) . Todo lo que sigue a la palabra "resuelve" es solo una verificación explícita de que la solución (ya encontrada) es de hecho una solución. Entonces obtener 0 para LHS es exactamente lo que queremos ya que RHS es 0. Nuestras ecuaciones son redundantes, no queremos usarlas todas, y solo estoy mostrando eso para C ≠ 1 podríamos usar cualquiera de las dos ecuaciones.
Wow, no puedo creer que cometí ese error -.- Gracias por la ayuda.
¿Cómo encuentra el operador de proyección en un espacio propio si no conoce el vector propio?
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