Comprensión de la matriz de densidad para estados puros frente a estados mixtos

Entonces, hay una pregunta en mi libro de texto que explica el siguiente escenario:

Un físico realiza dos experimentos A y B para preparar sistemas cuánticos en una variedad de estados iniciales. En el experimento A, utiliza una máquina probabilística que puede preparar un solo sistema cuántico en uno de$n$posibles estados puros$\{\lvert \psi_1 \rangle, \lvert \psi_2 \rangle, ..., \lvert \psi_n \rangle \}$con las probabilidades correspondientes$\{\lvert p_1 \rangle, \lvert p_2 \rangle, ..., \lvert p_n \rangle \}$. en experimento$B$, en cambio, genera m sistemas cuánticos que no interactúan, cada uno de ellos preparado en su correspondiente estado de menor energía$\{\lvert \phi_1 \rangle, \lvert \phi_2 \rangle, ..., \lvert \phi_m \rangle \}$. Dejar$\rho_A$y$\rho_B$ser los operadores de matriz de densidad para los estados cuánticos preparados en experimentos$A$y$B$, respectivamente.

Y pregunta lo siguiente:

1. Escriba una expresión para ambos$\rho_A$y$\rho_B$y obtenga una expresión para el valor esperado de$\hat{O_A}$y$\hat{O_B}$(los operadores hermitianos que describen un observable del sistema A y el k-ésimo sistema del sistema B, respectivamente).

2. Dejar$P_j$y$P_k$ser los proyectores asociados a los estados$\lvert \psi_j \rangle$y$\lvert \psi_k \rangle$producido por$A$. Discuta si el producto$P_jP_k$desaparece

Para la pregunta 1, escribí lo siguiente para el sistema$A$:

$$\rho_A = \lvert \psi_j\rangle\langle \psi_j\rvert \tag{1}$$

$$\hat{O_A} = Tr(\hat{O_A} \rho_A) = Tr(\hat{O_A}\lvert\psi_j\rangle\langle \psi_j\rvert) \tag{2}$$

Mi justificación para la ecuación 1 es que el sistema A produce solo estados puros y que solo se genera "un solo" estado, por lo tanto, la matriz de densidad solo contiene un término (aquí j representa el j-ésimo estado generado). Sin embargo, la pregunta menciona sus probabilidades que no he incluido en mi respuesta porque solo se genera un estado. Debería$p_j$ser el coeficiente en la ecuación (1) en lugar de solo el número 1?

para el sistema$B$, tengo lo siguiente:

$$\rho_B = \frac{1}{m}\sum_i\lvert \phi_i\rangle\langle \phi_i\rvert \tag{3}$$

Mi justificación para esto es que el experimento B describe un estado mixto, que produce un total de m estados y, por lo tanto, cada estado tiene una probabilidad de$\frac{1}{m}$. No estoy seguro, sin embargo, acerca de cómo escribir el valor esperado para el experimento$B$.

Para la segunda pregunta, puedo expresar el producto como

$$P_jP_k = \lvert \psi_j\rangle\langle \psi_j\rvert \psi_k\rangle\langle \psi_k\rvert \tag{4}$$

Pero como no tengo información sobre la ortogonalidad de los estados para el experimento$A$, ¿cómo se supone que voy a deducir si esta ecuación se anula o no?

Si alguien pudiera proporcionar alguna pista o información sobre mis respuestas, sería muy apreciada. No estoy completamente seguro de entender correctamente las diferencias entre estados puros y mixtos.