Suma de dos matrices de densidad: ρ=p1ρ1+p2ρ2ρ=p1ρ1+p2ρ2\rho=p_1\rho_1+p_2\rho_2

Supongamos que tenemos

ρ = pag 1 ρ 1 + pag 2 ρ 2
Dónde ρ 1 y ρ 2 son matrices de densidad con pag 1 + pag 2 = 1 .

Estoy tratando de mostrar que esto también es una matriz de densidad .

si dejamos

ρ 1 = ∑ i norte pag ψ i | ψ i ⟩ ⟨ ψ i |
y
ρ 2 = ∑ i norte pag ϕ i | ϕ i ⟩ ⟨ ϕ i | .
Supongo que estas dos matrices de densidad son de tamaño norte , de lo contrario agregarlos no tendría ningún sentido. Tengo problemas para ver cómo esto produce una matriz de densidad, si lo fuera también, querría describir las probabilidades de las combinaciones de estados cuánticos combinados, que sería un norte 2 × norte 2 ¿matriz? Eso es todo lo que puedo ver como una interpretación física de esto como.

Acercándolo más matemáticamente, cada norte × norte matriz en la suma de ambos pag 1 ρ 1 y pag 2 ρ 2 tiene un factor de pag 1 pag ψ i + pag 2 pag ϕ i y

∑ i norte pag 1 pag ψ i + pag 2 pag ϕ i = ∑ i norte pag 1 ( pag ψ i − pag ϕ i ) + pag ϕ i = 1 ,

Lo cual es prometedor (y la única forma que he encontrado hasta ahora de usar la condición en pag 1 , pag 2 ), pero por lo que puedo ver, este factor realmente no significa nada. Cualquier ayuda sería muy apreciada, estoy un poco perdido!

Comentario a la formulación de la pregunta (v1). Además, se debe suponer que pag 1 , pag 2 ≥ 0 .

Respuestas (2)

Eso depende de lo que entienda que significa "matriz de densidad". Parece que piensas que se refiere a operadores de la forma

(1) ρ = ∑ k = 1 norte pag k | ψ k ⟩ ⟨ ψ k | ,
dónde pag k ≥ 0 para todos k , ∑ k = 1 norte pag k = 1 , y el | ψ k ⟩ son vectores en algunos norte espacio de Hilbert -dimensional H . Como contraste, la respuesta de QMechanic se basa en una caracterización de las matrices de densidad como operadores hermitianos semidefinidos positivos con traza 1. Demostrar la equivalencia de estas definiciones es un ejercicio muy informativo y probablemente le enseñará más que su problema actual.

para demostrar que ρ = pag 1 ρ 1 + pag 2 ρ 2 es una matriz de densidad según su definición, deberá basarse en una descomposición de valores propios-vectores propios. Escribiendo ρ como en la ecuación (1) es posible porque ρ es hermético; el problema es entonces probar las dos condiciones en el pag k . El primero es equivalente a ρ siendo positivo semidefinido (¿por qué?), y esto lo puedes probar usando la definición abstracta (real) de eso:

⟨ v | ρ v ⟩ ≥ 0 ∀ v ∈ H .
La condición de suma la puedes probar tomando la traza de las diferentes expresiones que tienes para ρ .

Ah, gracias por aclararlo, ahora encontré ese teorema y trabajaré en la prueba, estoy de acuerdo, será muy útil para mi comprensión. Gracias por seguir el método sin usar este teorema, ¡estoy muy agradecido por su tiempo!

Sugerencias:

Un operador de densidad es, por definición, un operador (semi-) positivo con traza igual a uno.

OP está preguntando esencialmente

¿ Es una combinación lineal convexa de operadores de densidad nuevamente un operador de densidad?

Respuesta: Sí, porque:

  1. Los operadores semipositivos forman un cono y

  2. la traza es lineal.

Ver pto. 1, tenga en cuenta que los operadores A en complejo 1 Los espacios de Hilbert disfrutan de las caracterizaciones

A   semi-positivo ⇔ ∀ v ∈ H   :   ⟨ v | A v ⟩   ≥   0 ,

y

A   hermitiano ⇔ ∀ v , w ∈ H   :   ⟨ v | A w ⟩   =   ⟨ A v | w ⟩
⇔ ∀ v ∈ H   :   ⟨ v | A v ⟩   =   ⟨ A v | v ⟩ ⇔ ∀ v ∈ H   :   ⟨ v | A v ⟩   ∈ R .

--

1 Estas caracterizaciones no son válidas para espacios de Hilbert reales, por lo que aquí estamos usando que la mecánica cuántica se formula en espacios de Hilbert complejos.

Gracias :) Por interés, ¿qué representa esta combinación lineal convexa de operadores de densidad con respecto a un sistema cuántico?
@Freeman Una combinación lineal convexa ρ = ∑ k pag k ρ k con ∑ k pag k = 1 y pag k ≥ 0 representa una mezcla probabilística de los estados ρ k , con las probabilidades correspondientes pag k .
Suma de dos matrices de densidad: ρ=p1ρ1+p2ρ2ρ=p1ρ1+p2ρ2\rho=p_1\rho_1+p_2\rho_2
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v