Forma del espacio de estado bajo diferentes productos tensoriales

Actualmente estoy estudiando teorías probabilísticas generalizadas. Permítanme recordar aproximadamente cómo se ve esa teoría (puede omitir esto e ir a "Mi pregunta" si está familiarizado con esto).

Recuerde : en una teoría probabilística generalizada (GPT), el conjunto de estados está dado por un subconjunto convexo$\Omega \subset V$de un espacio vectorial real (en el caso especial de la teoría cuántica,$\Omega$es el conjunto de operadores de densidad y$V$es el espacio vectorial de operadores hermitianos en un espacio de Hilbert). A las estadísticas de una medida se describen mediante un conjunto de efectos . Un efecto es un funcional lineal.$e \in V^*$tal que$0 \leq e(\omega) \leq 1$para todos$\omega \in \Omega$. Sea el conjunto de efectos denotado por$E(\Omega)$. El efecto de la unidad $u \in E(\Omega)$es dado por$u(\omega) = 1$para todos$\omega \in \Omega$(en un GPT, el conjunto de estados$\Omega$es siempre tal que tal funcional$u \in V^*$existe). Una medida es un conjunto$\{ e_1, \ldots, e_n \}$de efectos tales que$\sum_{i=1}^n e_i = u$.

Para describir sistemas compuestos en un GPT, se introduce el concepto de productos tensoriales (en lo que sigue, un "producto tensorial" de espacios de estado$\Omega_A$y$\Omega_B$es una regla que te dice cómo combinar sistemas, y esta regla no tiene que coincidir con lo que generalmente se llama un producto tensorial en matemáticas, mientras que el producto tensorial$e_A \otimes e_B$significa el producto tensorial habitual; Creo que esta es una mala terminología, pero es muy común en la teoría de las GPT). Un estado$\omega^{AB} \in \Omega^{AB}$de un sistema compuesto por dos subsistemas$A$y$B$tiene que satisfacer

$$\begin{equation} \text{normalization:} \quad (u^A \otimes u^B)(\omega^{AB}) = 1 \end{equation}$$ y $$\begin{equation} \text{positivity:} \quad (e_A \otimes e_B)(\omega^{AB}) \geq 0 \quad \forall e_A \in E(\Omega_A), \forall e_B \in E(\Omega_B), \end{equation}$$ dónde $\otimes$denota el producto tensorial habitual (en terminología matemática). Estos dos requisitos tienen que ser cumplidos por cada estado de un sistema compuesto; son las restricciones mínimas para un sistema compuesto.

El producto tensorial máximo $\Omega_A \otimes_\text{max} \Omega_B$de dos sistemas viene dado por el conjunto de todos$\omega^{AB} \in V_A \otimes V_B$que satisfacen la normalización y la positividad (se llama máxima ya que las restricciones mínimas conducen a un conjunto de estados máximamente grande).

El otro caso extremo es el producto tensorial mínimo que viene dado por todas las combinaciones convexas de los estados del producto.$\omega_A \otimes \omega_B$, es decir, por todas las mezclas de estados de productos.

También hay otras formas posibles de combinar sistemas, es decir, otros productos tensoriales además del producto tensorial máximo y mínimo. Por ejemplo, el "producto tensorial" en el caso cuántico (que abarca todos los operadores de densidad en$\mathcal{H}_A \otimes \mathcal{H}_B$) no es ni el producto tensorial mínimo ni el máximo.

Mi pregunta: me pregunto cuánto se puede inferir sobre la estructura del espacio de estado$\Omega_A \otimes \Omega_B$de la estructura de los espacios estatales locales$\Omega_A$,$\Omega_B$al considerar diferentes tipos de productos tensoriales. Más precisamente, me pregunto si se pueden relacionar los enunciados de que los estados locales forman un politopo y que los estados compuestos forman un politopo (¿existen productos tensoriales tales que un enunciado implique al otro?). ¿Existen productos tensoriales tales que los estados compuestos formen un politopo mientras que los estados locales no lo hagan? ¿Existen productos tensoriales tales que los estados compuestos siempre formen un politopo? Estoy interesado en todo tipo de argumentos que hacen afirmaciones sobre conjuntos de estados que son (no) politópicos cuando surgen de ciertos tipos de productos tensoriales.

Agradezco cualquier tipo de argumento o comentario, etc.