Teorema de Rouché para un polinomio

Question

Teorema de Rouché para un polinomio

Matemáticas
singularidad
teorema de rouches
análisis complejo

don

Muestra esa $P(z) = z^{47} − z^{23}+ 2z^{11} − z^5 + 4z^2 + 1$ tiene al menos un cero en el disco de la unidad $D(0,1)$ .

Aquí está mi intento:

Dejar $f(z)=z^{47} − z^{23}+ 2z^{11} − z^5 + 4z^2 + 1$ y $g(z)=− z^5 + 4z^2 + 1$ Usando el teorema de Rouché, en $|z|=1,$ $|f(z)-g(z)|=|z^{47}-z^{23}+2z^{11}| \leq|z|^{47}+|-z|^{23}+2|z|^{11}=1+1+2=4.$ Entonces $2<4.$ $(|f(z)-g(z)|\leq|f(z)|+|g(z)|)$ utilizando el teorema.

Entonces, ¿cómo digo cuántos ceros hay? Quiero decir, mirando ¿qué deducimos el número de ceros en esta función? ¿Y es esta la forma correcta o debo cambiar mis suposiciones para hacerlo de una mejor manera?

Ted Shifrin

¿De dónde salió "So

2 < 4

$2<4$ ¿De dónde vienen? Yo no sigo.

don

@TedShifrin

| z^{47} - z^{23} + 2 z^{11} | = | 1 - 1 + 2 | = 2

$|z^{47}-z^{23}+2z^{11}|=|1-1+2|=2$ y

| z |^{47} + | - z |^{23} + 2 | z |^{11} = 1 + 1 + 2

$|z|^{47}+|-z|^{23}+2|z|^{11}=1+1+2$ usando

| f (z) - g (z) | \leq | f (z) | + | g (z) |

$|f(z)-g(z)|\leq|f(z)|+|g(z)|$ . Entonces

2 < 4

$2<4$

Martín R.

Estoy bastante seguro de que el teorema de Rouché es la herramienta incorrecta aquí. ¿Se supone que debes usarlo?

Martín R.

| z^{47} - z^{23} + 2 z^{11} | = | 1 - 1 + 2 |

$|z^{47}-z^{23}+2z^{11}|=|1-1+2|$ tiene para

z = 1

$z=1$ , pero no para todos

z

$z$ en el círculo unitario.

Ted Shifrin

¿Por qué tuviste cuidado de usar la desigualdad triangular en un caso pero no en el otro? Ups.

Respuestas (2)

Teorema de Rouché para un polinomio

¿De dónde salió "So $2<4$ ¿De dónde vienen? Yo no sigo.
@TedShifrin $|z^{47}-z^{23}+2z^{11}|=|1-1+2|=2$ y $|z|^{47}+|-z|^{23}+2|z|^{11}=1+1+2$ usando $|f(z)-g(z)|\leq|f(z)|+|g(z)|$ . Entonces $2<4$
Estoy bastante seguro de que el teorema de Rouché es la herramienta incorrecta aquí. ¿Se supone que debes usarlo?
$|z^{47}-z^{23}+2z^{11}|=|1-1+2|$ tiene para $z=1$ , pero no para todos $z$ en el círculo unitario.
¿Por qué tuviste cuidado de usar la desigualdad triangular en un caso pero no en el otro? Ups.

Conrado · Answer 1

Este problema en particular no necesita un análisis complejo (más allá del teorema fundamental del álgebra) ya que el producto de las raíces es $1$ en valor absoluto, por lo que al menos uno está en el disco unitario abierto o todos $47$ las raíces están en el círculo unitario y esto último obviamente no es cierto ya que las raíces no reales son conjugadas, por lo que incluso en número y $\pm 1$ manifiestamente no son raíces.

zipirovich · Answer 2

Usando la notación del artículo de Wikipedia sobre el teorema de Rouché .

Dejar $f(z)=4z^2+1$ y $g(z)=z^{47}−z^{23}+2z^{11}−z^5$ , y considéralos en el disco $D(0,\frac{2}{3})$ . En su límite,

\begin{matrix} | gramo (z) | = | z^{47} - z^{23} + 2 z^{11} - z^{5} | \leq | z^{47} | + | z^{23} | + | 2 z^{11} | + | z^{5} | = \\ = {(\frac{2}{3})}^{47} + {(\frac{2}{3})}^{23} + 2 \cdot {(\frac{2}{3})}^{11} + {(\frac{2}{3})}^{5} \approx 0.155 \end{matrix}

$\begin{multline*} |g(z)|=|z^{47}−z^{23}+2z^{11}−z^5|\leq|z^{47}|+|z^{23}|+|2z^{11}|+|z^5|=\\ =\left(\frac{2}{3}\right)^{47}+\left(\frac{2}{3}\right)^{23}+2\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^{11}+\left(\frac{2}{3}\right)^5\approx0.155\end{multline*}$ y

| F (z) | = | 4 z^{2} + 1 | \geq | 4 z^{2} | - | 1 | = 4 \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} - 1 = \frac{7}{9} .

$|f(z)|=|4z^2+1|\geq|4z^2|-|1|=4\cdot\left(\frac{2}{3}\right)^2-1=\frac{7}{9}.$

Desde $|g(z)|<|f(z)|$ en el límite, $f$ y $f+g$ tener el mismo número de ceros en este disco. Ahora, ¿cuántos ceros hay en este disco? $f(z)$ ¿tener?

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Ted Shifrin

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Martín R.

Martín R.

Ted Shifrin

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Conrado

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