Pequeña duda sobre la función holomorfa.

Simplemente defina

$$g(z)=\begin{cases}\frac{f(z)}{z-a}&\text{ if }z\ne a\\f'(a)&\text{ if }z=a.\end{cases}$$ Está claro por la forma en que$g$se define que siempre tienes$g(z)=(z-a)f(z)$y si$\sum_{n=1}^\infty a_n(z-a)^n$es la serie de Taylor de$F$centrado en$a$, eso$g(a)=f'(a)=a_1$. Además,$g$es analítico. Esto es claro en$U\setminus\{a\}$(es el cociente de dos funciones analíticas). Y, cerca$a$, $$g(z)=\sum_{n=1}^\infty a_n(z-a)^{n-1}=\sum_{n=0}^\infty a_{n+1}(z-a)^n.$$

Un enfoque un poco más conveniente, en mi humilde opinión:

Desde$f$es analítico en un disco centrado en$a$, es exactamente igual a una serie de potencias de la forma$f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k (z-a)^k$. Además, tenemos que$a_k=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$. En particular,$a_0=0$. Entonces tenemos

$$\begin{align}f(z)&=\sum_{k=0}^\infty a_k(z-a)^k\\ &=\sum_{k=1}^\infty a_k(z-a)^k\\ &=(z-a)\sum_{k=1}^\infty a_k (z-a)^{k-1}\\ &=(z-a)\sum_{k=0}^\infty a_{k+1}(z-a)^k \end{align}$$

La serie de potencias obtenida en el último paso es$g$. Es obviamente analítico, y$g(a)=a_1$.

Realmente no sé qué "creer que$g$existe" significa. Pero si ha probado que tal$g$existe, entonces simplemente diferencie

$f'(z)=g(z)+(z-a)g'(z)$y enchufar$a$Llegar$f'(a)=g(a)$.