fff es holomorfa y |f′(z)|<1|f′(z)|<1|f'(z)|<1 en un dominio convexo DDD entonces f(z2)−f(z1)z2−z1∈ Conv{f′(z):z∈D}f(z2)−f(z1)z2−z1∈Conv{f′(z):z∈D}\frac{f(z_2)-f(z_1)} {z_2-z_1}\en Conv\{f'(z):z\en D\}

F es holomorfo y | F ′ ( z ) | < 1 en un dominio convexo D . Deseo mostrar que para todos z 1 , z 2 ∈ D , F ( z 2 ) − F ( z 1 ) z 2 − z 1 ∈ C o norte v { F ′ ( z ) , z ∈ D } .

Usando la integral de línea y el hecho de que D es convexa, se puede demostrar que | F ( z 2 ) − F ( z 1 ) | = | ∫ [ z 1 , z 2 ] F ′ ( z ) d z | ≤ ∫ [ z 1 , z 2 ] | F ′ ( z ) | d z ≤ ∫ [ z 1 , z 2 ] 1 = | z 2 − z 1 | . Entonces conseguimos eso | F ( z 2 ) − F ( z 1 ) | ≤ | z 2 − z 1 | . De este modo | F ( z 2 ) − F ( z 1 ) z 2 − z 1 | ≤ 1 entonces F ( z 2 ) − F ( z 1 ) z 2 − z 1 ∈ B ( 0 , 1 ) para todos z 1 , z 2 ∈ D . El hecho de que | F ′ ( z ) | < 1 el C o norte v { F ′ ( z ) : z ∈ D } también es un subconjunto de B ( 0 , 1 ) . Sin embargo, no logro continuar a partir de este punto.

¿Quieres decir "dominio convexo"?
@MartinR sí, de hecho, editado. ¡Gracias por la corrección!

Respuestas (1)

Responde suponiendo que C o norte v ( A ) representa el casco convexo cerrado de A :

F ( z 2 ) − F ( z 1 ) z 2 − z 1 = ∫ 0 1 F ′ ( t z 2 + ( 1 − t ) z 1 ) d t . Si simplemente escribe una suma de Riemann típica para esta integral, verá que cada suma de Riemann es una combinación convexa de un número finito de valores de F ′ ( z ) con z ∈ D . Por eso F ( z 2 ) − F ( z 1 ) z 2 − z 1 pertenece al casco convexo cerrado de { F ′ ( z ) : z ∈ D } .

fff es holomorfa y |f′(z)|<1|f′(z)|<1|f'(z)|<1 en un dominio convexo DDD entonces f(z2)−f(z1)z2−z1∈ Conv{f′(z):z∈D}f(z2)−f(z1)z2−z1∈Conv{f′(z):z∈D}\frac{f(z_2)-f(z_1)} {z_2-z_1}\en Conv\{f'(z):z\en D\}
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v