Consecuencia del teorema de mapeo de Riemann

No se puede aplicar el teorema tal como se establece a$z_0=\infty$. En efecto, sin demasiada dificultad podemos observar que la conclusión de que$f(\infty)=0$y$f'(\infty)>0$es imposible. Si$f$es holomorfa en$\infty$(En particular,$f(\infty)$es finito), entonces$f'(\infty)$debe ser$0$.

¿Por qué? Bien,$f$siendo "holomórfico en$\infty$"realmente significa que$z \mapsto f(1/z)$es holomorfa en$0$. (Por supuesto, cuando digo holomorfo en un punto, en realidad me refiero a una vecindad del punto). Entonces$f(1/z) = a_0 + a_1z + a_2z^2 + \cdots$en un barrio de$0$. Luego, en un barrio del infinito,$f(z) = \cdots + a_2\frac{1}{z^2} + a_1\frac{1}{z} + a_0$. Entonces$f'$"en el infinito" es$0$.

No hay contradicción con el teorema de mapeo de Riemann. Unicidad de un mapa de Riemann$\phi$hasta$\phi(z_0) = 0$y$\phi'(z_0)>0$solo funciona para$z_0 \in \mathbb{C}$, no para$z_0 = \infty$.

[Nota al margen: esta es solo una de las razones por las que creo que la formulación del teorema de mapeo de Riemann en términos de "exclusividad hasta$\phi(z_0) = 0$y$\phi'(z_0)>0$" es una gran pista falsa. La existencia de la biyección conforme$\phi$es el contenido real del teorema. En cuanto a la singularidad,$\phi$es único hasta composición con automorfismos de$\mathbb{D}$. Los automorfismos analíticos de$\mathbb{D}$son los mapas de la forma

$$M_{a,\theta}(z) = e^{i\theta} \frac{z-a}{\overline{a}z-1} \qquad (\theta \in \mathbb{R}, a \in \mathbb{D}).$$ Estos forman una "familia de tres parámetros" (un parámetro real $\theta$, un parámetro complejo $a$). especificando $\phi(z_0)=0$y $\arg(\phi'(z_0))=0$simplemente resulta ser una forma de usar los tres grados de libertad para obtener un único $\phi$(valido para $z_0 \neq \infty$). Sin embargo, no tiene nada de especial.]

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Su problema se puede resolver de la siguiente manera:

• Dejar$U = \overline{\mathbb{C}} \setminus \overline{G}$. Dejar$g(z)=\frac{1}{z-c}$, dónde$c$hay algún punto que no está en$U$. Dejar$V$ser la imagen de$U$bajo$g$. Entonces$g:U \to V$es una biyección conforme.
• Aplique la versión del teorema de mapeo de Riemann como se indica en la parte superior de su publicación: Deje$\phi:V \to \mathbb{D}$sea ​​el mapeo de Riemann con$\phi(0)=0$,$\phi'(0)>0$.
• Mapa$\mathbb{D}$a$\overline{\mathbb{C}} \setminus \overline{\mathbb{D}}$por$h(z)=1/z$.

Entonces$\Phi = h \circ \phi \circ g$es una biyección conforme de$U$a$\overline{\mathbb{C}} \setminus \overline{\mathbb{D}}$, y$\Phi(\infty)=\infty$y$\Phi'(\infty)>0$(cálculos omitidos).