Demostrar o refutar: existe una función holomorfa con la propiedad dada

Question

Demostrar o refutar: existe una función holomorfa con la propiedad dada

Matemáticas
análisis complejo
funciones analíticas
funciones holomorfas

Thyrð Åkyrïkr

¿Existe una función holomorfa? $f:U_{1+\epsilon}(0)\rightarrow \mathbb{C}$ para todos $n\in \mathbb{N}_{\ge 2}$ tal que

$F (registro (1 + \frac{1}{norte})) = (\frac{1}{{norte}^{2}} - 1) (1 + \frac{1}{norte}) .$ $f\left(\log\left(1+\frac{1}{n}\right)\right) = \left(\frac{1}{n^2}-1\right)\left(1+\frac{1}{n}\right).$

dónde $U_{1+\epsilon}(0)$ es el disco abierto de radio $1+\epsilon$ centrado en $0$ .

Traté de usar el teorema de identidad para funciones holomorfas, pero no sé cómo definir una función $g$ tal que $g(\log(1+\frac{1}{n})= \left(\frac{1}{n^2}-1\right)\left(1+\frac{1}{n}\right)$ .

zhw.

Definir

U_{1 + ϵ} (0) .

$U_{1+\epsilon}(0).$

Thyrð Åkyrïkr

U_{1 + ϵ} (0)

$U_{1+\epsilon}(0)$ es el disco abierto de radio

1 + ϵ

$1+\epsilon$ centrado en

0

$0$ .

zhw.

¿Cuáles son sus pensamientos sobre este problema?

Thyrð Åkyrïkr

Traté de usar el teorema de identidad para funciones holomorfas, pero no sé cómo definir una función

g

$g$ tal que

g (\log (1 + \frac{1}{n})) =

$g(\log(1+\frac{1}{n}))=$ "al lado derecho".

Respuestas (2)

Demostrar o refutar: existe una función holomorfa con la propiedad dada

$U_{1+\epsilon}(0)$ es el disco abierto de radio $1+\epsilon$ centrado en $0$ .
Traté de usar el teorema de identidad para funciones holomorfas, pero no sé cómo definir una función $g$ tal que $g(\log(1+\frac{1}{n}))=$ "al lado derecho".

alex m · Answer 1

Construyamos la función requerida "a mano". Dejar $z = \log \left( 1 + \frac 1 n \right)$ . Entonces $\frac 1 n = \Bbb e ^z - 1$ , de modo que

F (z) = (({mi}^{z} - 1)^{2} - 1) (1 + ({mi}^{z} - 1)) = {mi}^{2 z} ({mi}^{z} - 2)

$f(z) = \Big( (\Bbb e ^z - 1)^2 - 1 \Big) \Big( 1 + (\Bbb e ^z - 1) \Big) = \Bbb e ^{2z} (\Bbb e ^z - 2)$

que se ve claramente que es holomorfo (de hecho, es completo, es decir, holomorfo en su totalidad $\Bbb C$ , no solo en $U_{1 + \epsilon}$ .

zhw. · Answer 2

Pista: el teorema de identidad sugiere $f(\log(1+z)) = (z^2-1)(1+z)$ sostendrá. Suponga que sí, encuentre un inverso a $\log(1+z),$ y mira lo que pasa.

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Thyrð Åkyrïkr

zhw.

Thyrð Åkyrïkr

zhw.

Thyrð Åkyrïkr

Respuestas (2)

alex m

zhw.

Demuestra que 12πi∫∂Df′(ζ)f(ζ)dζ=k1+k212πi∫∂Df′(ζ)f(ζ)dζ=k1+k2\frac{1}{2\pi i}\int_{\ parcial D} \frac{f'(\zeta)}{f(\zeta)}d\zeta = k_1+k_2, con orden de cero k1,k2k1,k2k_1, k_2

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