Función holomorfa inyectiva

Question

Función holomorfa inyectiva

Matemáticas
análisis complejo

FUUNK1000

Suponer $\Omega$ subconjunto abierto de $\mathbb{C}$ y deja $\varphi:\Omega\to \mathbb{C}$ Sea una función holomorfa en $\Omega$ . si existe $z_0\in \Omega$ tal que $\partial \varphi (z_0)\ne 0$ entonces existe $U$ barrio de $z_0$ dónde $\varphi_{|U}:U\to\mathbb{C}$ es inyectable

Encontré la siguiente prueba y necesito entender el razonamiento de esta manera:

Como $\varphi$ es continua en $z_0$ , debe existir $U$ barrio de $z_0$ tal que $\partial \varphi(z)\ne 0$ para todos $z\in U$ . Es fácil probar que:

Φ (z, w) = {\begin{cases} \frac{φ (z) - φ (w)}{z - w} & z \neq w \\ φ^{'} (z) & z = w \end{cases}

$\Phi(z,w)=\left\{\begin{array}{lll} \frac{\varphi(z)-\varphi(w)}{z-w} & z\ne w\\ \varphi'(z) & z=w \end{array}\right.$ es continua en $\Omega\times \Omega$ . Por lo que entonces $| φ (z_{1}) - φ (z_{2}) | > \frac{| φ^{'} (z_{0}) |}{2} | z_{1} - z_{2} |$ $\begin{equation} |\varphi(z_1)-\varphi(z_2)|>\frac{|\varphi'(z_0)|}{2}|z_1-z_2| \end{equation}$ para todos $z_1,z_2\in U$ .

No puedo entender por qué la última desigualdad es verdadera. ¿Alguna idea? ¡Muchas gracias!

Respuestas (1)

Función holomorfa inyectiva

ts375_zk26 · Answer 1

Si $a$ y $b$ son números complejos con $b\ne 0$ y satisfacer la desigualdad $|a-b|<\frac{|b|}{2},$ entonces

| a | > \frac{| b |}{2} .

$|a|>\frac{|b|}{2}.$

De hecho, $|b|=|(b-a)+a|\le |a-b|+|a|<\frac{|b|}{2}+|a|$ . Por lo tanto $\frac{|b|}{2}<|a|$ .

Ahora por la continuidad de $\Phi(z,w)$ , existe $U$ barrio de $z_0$ tal que

| Φ (z_{1}, z_{2}) - φ^{'} (z_{0}) | < ε

$|\Phi(z_1, z_2)-\varphi^\prime(z_0)|<\varepsilon$ para todos

z_{1},

$z_1,$

z_{2}

$z_2$

\in U, z_{1} \neq z_{2}

$\in U, z_1\ne z_2$ .
Tomando

ε = \frac{| φ^{'} (z_{0}) |}{2} > 0,

$\varepsilon =\frac{|\varphi^\prime (z_0)|}{2}>0,$ tenemos

\begin{aligned} | \frac{φ (z_{1}) - φ (z_{2})}{z_{1} - z_{2}} - φ^{'} (z_{0}) | < \frac{| φ (z_{0}) |}{2}, \\ | φ (z_{1}) - φ (z_{2}) - φ^{'} (z_{0}) (z_{1} - z_{2}) | < \frac{| φ^{'} (z_{0}) |}{2} | z_{1} - z_{2} | . \end{aligned}

$\begin{align} &\left|\frac{\varphi (z_1)-\varphi (z_2)}{z_1-z_2}-\varphi^\prime(z_0)\right|<\frac{|\varphi (z_0)|}{2},\\ &|\varphi (z_1)-\varphi (z_2)-\varphi^\prime(z_0) (z_1-z_2)|<\frac{|\varphi^\prime (z_0)|}{2}|z_1-z_2|. \end{align}$ Usando la desigualdad anterior con

a = φ (z_{1}) - φ (z_{2})

$a=\varphi (z_1)-\varphi (z_2)$ y

b = φ^{'} (z_{0}) (z_{1} - z_{2})

$b=\varphi^\prime(z_0) (z_1-z_2)$ , tenemos

| φ (z_{1}) - φ (z_{2}) | > \frac{| φ^{'} (z_{0}) |}{2} | z_{1} - z_{2} | .

$|\varphi (z_1)-\varphi (z_2)|>\frac{|\varphi^\prime(z_0)|}{2}|z_1-z_2|.$

Función holomorfa inyectiva

FUUNK1000

Respuestas (1)

ts375_zk26

Teorema 3.55 en Baby Rudin: ¿Cómo dar sentido a la demostración?

¿Cuál es exactamente la relación y cuáles son las diferencias entre los límites multivariables y los límites complejos?

¿Existe una forma natural de demostrar que las identidades trigonométricas también son válidas para los números complejos?

Separar dos componentes conexas de un conjunto cerrado en un plano

Teorema de Rouché para un polinomio

fff es holomorfa y |f′(z)|<1|f′(z)|<1|f'(z)|<1 en un dominio convexo DDD entonces f(z2)−f(z1)z2−z1∈ Conv{f′(z):z∈D}f(z2)−f(z1)z2−z1∈Conv{f′(z):z∈D}\frac{f(z_2)-f(z_1)} {z_2-z_1}\en Conv\{f'(z):z\en D\}

Demostrar o refutar: existe una función holomorfa con la propiedad dada

Convergencia inteligente de componentes

Consecuencia del teorema de mapeo de Riemann

¿Por qué el teorema de identidad para funciones holomorfas no funciona para funciones diferenciables reales?