Teorema de Poincaré-Bendixson bajo inversión de tiempo

En resumen: ¡sí! :) He hecho eso antes con éxito.

¿Por qué funciona?

El sistema dinámico autónomo se define como:$\dot{\bf{x}}=\bf{f}(\bf{x})$, con$\bf{x}$ $=(x,y)$y$\bf{f}$ $=(f_1,f_2)$.

Entonces el flujo en el espacio de fase es$f_1(\bf{x})$en la dirección "x" y$f_2(\bf{x})$en dirección "y".

tiempo de inversión ($t \rightarrow -t$) en una ODE autónoma de primer orden da:

$-dx/dt=f(x)$

$\Leftrightarrow dx/dt=-f(x)$

Esto cambiará la dirección del flujo de fase a su opuesto.

Entonces, en el caso más simple de un punto fijo que atrae, repelerá las trayectorias bajo la inversión del tiempo.

En el caso de un ciclo límite, usemos la teoría de Floquet y separemos los componentes del flujo de fase en movimiento periódico en el ciclo límite con período T$x(t)=x(t+T)$(modo Goldstone) y sus desviaciones otogonales que apuntan fuera de él$\Delta x(t)=x(t)-x_0$($x_0$es un punto de referencia en el ciclo límite). En el caso de un ciclo límite de atracción,$\Delta x(t)$disminuirá en cada iteración. Cuando invertimos el tiempo, el campo de flujo de fase se invierte para que las trayectorias se alejen del ciclo límite.

Aquí están las dos versiones de la dinámica del plano de fase del modelo de Selkov (si lee el capítulo 7 en el libro de Strogatz, está familiarizado con él). En la imagen de la izquierda existe un ciclo límite inestable y en su centro encontramos un punto fijo estable, como era de esperar. En la versión correcta, el tiempo se invierte y encontramos el ciclo límite estable, cuya existencia podemos probar mediante la construcción de una "región de captura" para Poincaré-Bendixson, como lo hizo Strogatz en el Ejemplo 7.3.2.

Las líneas azul y amarilla son las inclinaciones nulas (que no cambian de posición con la inversión del tiempo). La línea discontinua naranja muestra una trayectoria que comienza en el mismo punto en ambas versiones para ilustrar el flujo del espacio de fase.