El ruido rosa (1/f) a menudo se cita como una firma de sistemas complejos o críticos. ¿Es posible que un sistema de primer orden independiente del tiempo de baja dimensión genere ruido rosa?
Intuitivamente, parece que la respuesta debería ser no, ya que el ruido rosa exhibe correlaciones de largo alcance no triviales que, a diferencia del ruido marrón, no pueden explicarse por la transitividad de las correlaciones de corto alcance. Esto parece implicar que el sistema debe tener alguna forma de memoria a largo plazo que requeriría dimensiones más altas.
¿Hay una prueba formal de esto o un contraejemplo? Estoy principalmente interesado en sistemas físicamente plausibles. Estoy menos interesado en los sistemas que tratan los números reales como flujos de bits infinitos usando computación simbólica. Los sistemas deberían generar aproximadamente ruido rosa incluso si el estado interno solo se almacena con una precisión finita.
Entiendo que el verdadero ruido rosa no es físicamente posible ya que exhibiría catástrofes infrarrojas y ultravioletas.
La pregunta se restringe a los sistemas independientes del tiempo para descartar la suma de las contribuciones de los componentes de Fourier en función del tiempo y al primer orden, ya que los sistemas de orden superior son en realidad sistemas de dimensiones superiores disfrazados.
Si quiere limitarse a sistemas físicamente realistas (que no son inherentemente estocásticos), podemos limitarnos a ecuaciones diferenciales ordinarias, digamos
con ser suave y no ridículamente complejo (por ejemplo, no un polinomio con cien términos).
La dinámica de este sistema está gobernada por variedades invariantes con respecto al flujo fase-espacio dado por . En el caso de un sistema periódico, las trayectorias convergen a algunas de estas variedades; en el caso de un sistema caótico, las cosas son más complicadas y las trayectorias están gobernadas por una interacción de repulsión desde lo inestable y atracción hacia las variedades estables, pero aún se mueven aproximadamente a lo largo de ellas. Ahora los movimientos a lo largo de una parte dada de estas variedades ocurren en la misma escala de tiempo (para cada dirección). El punto crucial ahora es que en un sistema como el descrito anteriormente, tenemos solo un pequeño número de variedades y direcciones de movimiento y, por lo tanto, escalas de tiempo.
Ahora, obtenemos un comportamiento oscilatorio por la dinámica moviéndose a lo largo de al menos algunas de estas variedades, con la frecuencia determinada por las escalas de tiempo antes mencionadas. No es necesario dar estas frecuencias con exactitud (en el caso de un sistema caótico), pero solo se pueden difuminar hasta cierto punto. Por lo tanto, para aproximar un espectro de ruido que abarque muchas escalas de frecuencia, se necesitan muchas escalas de tiempo en el sistema, lo que es imposible en un sistema de baja dimensión.