¿Conservación de energía sin principio de acción?

Question

¿Conservación de energía sin principio de acción?

Física
simetría
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sistemas no lineales
conservación de energía

Roberto Mastragostino

El lema normal para la conservación de la energía es que es una cantidad conservada asociada a la invariancia de la traducción del tiempo. Entiendo cómo funciona esto para las teorías que provienen de un Lagrangiano, y que este es el contexto al que pretende referirse la declaración anterior, pero tengo curiosidad sobre si es cierto o no en mayor generalidad (es decir, es cierto en un más amplio contexto que se puede mostrar a través del teorema de Noether). Me limitaré a ODE individuales, ya que este caso ya no me queda claro. Si tenemos una ecuación diferencial

\ddot{X} = F (X, \dot{X})

$\ddot{x}=f(x,\dot{x})$

en general $f$ esto claramente posee simetría de traducción de tiempo. Esto no conserva energía como se usa normalmente el término, ya que esto incluye ejemplos como un oscilador armónico amortiguado. Sin embargo, ¿realmente no hay una cantidad conservada de ningún tipo asociada a la simetría? Si no hay dependencia de $\dot{x}$ podemos encontrar fácilmente una integral de movimiento, pero no estoy seguro de por qué cualquier dependencia de $\dot{x}$ arruinaría esto.

Constantino negro

Hola. Tal vez sea solo la energía mecánica que no es una constante de movimiento. La energía total debe conservarse, pero no sé cómo derivar tal resultado.

Respuestas (4)

¿Conservación de energía sin principio de acción?

Hola. Tal vez sea solo la energía mecánica que no es una constante de movimiento. La energía total debe conservarse, pero no sé cómo derivar tal resultado.

qmecanico · Answer 1

(Después de posiblemente introducir más variables), entonces OP está considerando esencialmente un sistema autónomo de $n$ EDO acopladas de primer orden

\begin{matrix} (1) & \frac{d \vec{z} (t)}{d t} = \vec{F} (\vec{z} (t)), F : tu \to R^{norte}, tu \subseteq R^{norte}, \end{matrix}

$\tag{1} \frac{d\vec{z}(t)}{dt}~=\vec{f}(\vec{z}(t)), \qquad f: U \to \mathbb{R}^n , \qquad U\subseteq \mathbb{R}^n,$

es decir, sin dependencia temporal explícita, por lo que el sistema (1) posee simetría de traslación temporal.

OP ahora está reflexionando si existe una función no trivial $h:U\to\mathbb{R}$ tal que $t\mapsto h(\vec{z}(t))$ es constante a lo largo de cada solución del sistema (1)?

La advertencia es que $h$ solo se le permite depender de la función de estructura $f$ del sistema (1), pero no, por ejemplo, sobre las condiciones iniciales para una solución.

Para $n\geq 3$ , semejante $h$ no existe en general. Sin embargo, hay dos excepciones importantes:

Si el sistema tiene una formulación funcional de acción autónoma , entonces el teorema de Noether muestra que la función de energía correspondiente se conserva en la capa. (Este caso ya es mencionado por OP.)
En el caso $n=2$ , que es de hecho el caso en el que OP quería centrarse, entonces siempre existe (en vecindarios abiertos suficientemente pequeños) una formulación hamiltoniana autónoma del sistema (1), cf. por ejemplo, mi respuesta Phys.SE aquí . el hamiltoniano $H$ en sí mismo es una cantidad conservada. (El caso $n=1$ también tiene una cantidad conservada.)

Desde una perspectiva física, es natural asociar la función $h$ con la energía del sistema. Si esta identificación fuera correcta, entonces todos los sistemas disipativos serían contraejemplos. Sin embargo $h$ no necesita ser la energía física real del sistema. Véase, por ejemplo , esta formulación funcional de acción no estándar de un sistema disipativo. Sin embargo, tan pequeño- $n$ Los accidentes se vuelven más raros a medida que $n$ crece

imagen357 · Answer 2

Creo que puedo recordar la derivación de un campo de fuerza conservativo en la mecánica clásica, que es una suposición algo más fuerte que la invariancia de traducción de tiempo pura.

Dejar $\vec{F}$ Sea un campo de fuerza conservativo, es decir

\nabla \times \vec{F} = 0

$\nabla \times \vec{F} = 0$ o alternativamente

ϕ := - \int_{γ} \vec{F} \cdot d \vec{a}

$\phi := -\int_\gamma \vec{F} \cdot d\vec{a}$ no depende del camino

γ

$\gamma$ y su parametrización

\vec{a} (s)

$\vec{a}(s)$ , pero solo en los "puntos finales".

Tome la ecuación de movimiento de Newton:

metro \ddot{\vec{r}} = \vec{F}

$m \ddot{\vec{r}} = \vec{F}$ multiplicar por

\dot{\vec{r}}

$\dot{\vec{r}}$ e integrar con el tiempo

metro \int_{t_{0}}^{t} \frac{d \dot{\vec{r}}}{d t} \cdot \dot{\vec{r}} d t = \int_{t_{0}}^{t} \vec{F} \cdot \dot{\vec{r}} d t

$m \int_{t_0}^t \frac{d \dot{\vec{r}}}{dt} \cdot \dot{\vec{r}} ~dt = \int_{t_0}^t \vec{F} \cdot \dot{\vec{r}} ~dt$

metro \int_{{\vec{v}}_{0}}^{\vec{v}} \dot{\vec{r}} \cdot d \dot{\vec{r}} = \int_{{\vec{r}}_{0}}^{\vec{r}} \vec{F} \cdot d \vec{r}

$m \int_{\vec{v}_0}^{\vec{v}} \dot{\vec{r}} \cdot d \dot{\vec{r}} = \int_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} \vec{F} \cdot d \vec{r}$

metro \int_{v_{0}}^{v} v d v + metro \int_{{\vec{norte}}_{0}}^{\vec{norte}} v^{2} \vec{norte} \cdot d \vec{norte} = - ϕ (\vec{r}) + ϕ ({\vec{r}}_{0})

$m \int_{v_0}^{v} v ~dv + m \int_{\vec{n}_0}^{\vec{n}} v^2 \vec{n} \cdot d \vec{n} = -\phi(\vec{r}) + \phi(\vec{r}_0)$

\frac{1}{2} metro v^{2} - \frac{1}{2} metro v_{0}^{2} + metro \int_{{\vec{norte}}_{0}}^{\vec{norte}} v^{2} \vec{norte} \cdot d \vec{norte} = - ϕ (\vec{r}) + ϕ ({\vec{r}}_{0})

$\frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 + m \int_{\vec{n}_0}^{\vec{n}} v^2 \vec{n} \cdot d \vec{n} = -\phi(\vec{r}) + \phi(\vec{r}_0)$ con

\vec{n}

$\vec{n}$ el vector unitario que apunta en la dirección de la velocidad

\vec{v} = \dot{\vec{r}} = v \cdot \vec{n}

$\vec{v} = \dot{\vec{r}} = v\cdot\vec{n}$ . La integral restante es una integral de trayectoria sobre una trayectoria en el círculo unitario/esfera . Eso es:

\vec{n} ⊥ \frac{d \vec{n}}{d s}

$\vec{n} \perp \frac{d\vec{n}}{ds}$ para cualquier parametrización

\vec{n} (s)

$\vec{n}(s)$ . Así, tenemos:

\int_{{\vec{norte}}_{0}}^{\vec{norte}} v^{2} \vec{norte} \cdot d \vec{norte} = 0

$\int_{\vec{n}_0}^{\vec{n}} v^2 \vec{n} \cdot d \vec{n} = 0$ y nos quedamos con:

\frac{1}{2} metro v^{2} + ϕ (\vec{r}) = \frac{1}{2} metro v_{0}^{2} + ϕ (\vec{r_{0}}) = constante

$\frac{1}{2} m v^2 + \phi(\vec{r}) = \frac{1}{2} m v_0^2 + \phi(\vec{r_0}) = \text{const.}$

ian · Answer 3

Creo que esto se discute en Nonlinear Dynamics and Chaos por Strogatz. No recuerdo los detalles, pero vale la pena mirar su discusión sobre una función de energía.

acechador · Answer 4

Aquí explica lo que creo que estás preguntando:

Trabajamos con una formulación de análisis de simetría de Noether que utiliza las propiedades de transformaciones de puntos infinitesimales en las variables espacio-temporales para establecer la asociación entre simetrías y leyes de conservación de un sistema dinámico. Aquí las simetrías se expresan en forma de generadores. Hemos estudiado las simetrías variacionales o de Noether del oscilador armónico amortiguado representándolo mediante un Lagrangiano explícitamente dependiente del tiempo y encontramos que un grupo de transformaciones de cinco parámetros deja la integral de acción invariante. Entre las cantidades conservadas asociadas, solo dos son funcionalmente independientes. Estas dos cantidades conservadas determinan la solución del problema y corresponden a un subgrupo abeliano de dos parámetros.

entonces, en resumen, lo que se encuentra es que la ecuación del operador diferencial

\ddot{X} + β \dot{X} + γ X = 0

$\ddot{x} + \beta \dot{x} + \gamma x = 0$

no es un operador autoadjunto, por lo que por criterio de Helmoltz no puede tener un Lagrangiano, pero sumando un factor de $e^{\lambda t}$ puede hacerse autoadjunto por el lagrangiano

L = {mi}^{λ t} (\frac{{\dot{X}}^{2}}{2} - \frac{ω^{2} X^{2}}{2})

$L = e^{\lambda t} \Big ( \frac{ \dot{x}^2}{2} - \frac{ \omega^2 x^2}{2} \Big )$

que deja explícito cuál es la dependencia temporal del Lagrangiano con el tiempo

¿Conservación de energía sin principio de acción?

Roberto Mastragostino

Constantino negro

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qmecanico

imagen357

ian

acechador

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