Teorema de Noether: significado de transformación de coordenadas

La teoría de campos lagrangiana clásica se ocupa de los campos$\phi: M \to N$, dónde$M$es espacio-tiempo y$N$es el espacio objetivo de los campos. Llamaremos por conveniencia$M$y$N$el espacio horizontal y el vertical, respectivamente. OP está en esta terminología esencialmente preguntando

P: ¿Cuál es el significado de las transformaciones horizontales?

R: Es un flujo (horizontal) en el espacio-tiempo$M$. Infinitesimalmente, es generado por un campo vectorial (horizontal)$X\in\Gamma(M)$.

P: ¿ Cómo pueden ser importantes las coordenadas horizontales/espaciales si son solo variables ficticias en la acción?$S=\int_{\Omega} \!d^4x~{\cal L}$?

R: Bueno, como señala Phoenix87 en su respuesta, puede haber un flujo de entrada y salida de la región de integración.$\Omega\subseteq M$que pueden crear contribuciones de límite. Además,$\Omega$a menudo se considera una región de integración arbitraria.

La propia Noether ya consideró las transformaciones tanto horizontales como verticales en su artículo seminal de 1918 . Hay muchos ejemplos en Phys.SE donde las transformaciones horizontales juegan un papel. Ver, por ejemplo , este y este Phys.SE publicaciones.

Cuando integras la densidad lagrangiana sobre una determinada región$\Omega$, en principio se permite que esto cambie y esto le da un término "límite" en la variación. Esto está bien discutido, por ejemplo, en el libro de Goldstein (3ra edición), donde se da la prueba correcta del teorema de Noether.

Creo que después de 1,5 años finalmente puedo apreciar la respuesta de Qmechanic. Permítanme intentar formular lo que creo que habría sido la respuesta ideal a mi pregunta y corríjanme si me equivoco. Estoy usando los símbolos definidos en la Teoría cuántica de campos de Weinberg.

Un campo es una función.$\Psi: M \rightarrow N$, dónde$M$es el espacio de Minkowski (que llamamos por conveniencia el espacio horizontal) y$N$es el espacio objetivo de los campos (que llamamos por conveniencia el espacio vertical).$N$puede ser, por ejemplo, el espacio de escalares, vectores, espinores de Dirac, tensores antisimétricos, etc. Para definir una transformación infinitesimal$X \rightarrow X$(dónde$X$es el espacio de campos), podemos considerar transformaciones infinitesimales separadas en el espacio horizontal y vertical:

a) transformación horizontal: Transformación del tipo$h:M\rightarrow M$. un ejemplo es$x \mapsto x + \omega x$(si$\omega$con ambos índices hacia arriba o hacia abajo es antisimétrica, esta es una transformación de Lorentz infinitesimal).

b) transformación vertical: Transformación del tipo$v:N \rightarrow N$. un ejemplo es$\Psi \mapsto \Psi + \frac{i}{2}\omega^{\mu\nu} \mathcal J_{\mu\nu} \Psi$, dónde$J_{\mu\nu}:N\rightarrow N$son los generadores infinitesimales en la representación irreducible del grupo de Lorentz bajo el cual los elementos de$N$transformar.$\omega$se define como arriba.

Ahora podemos definir la transformación de campos. $X \rightarrow X$combinando una transformación horizontal y una vertical :$\Psi \mapsto \Psi'$con$\Psi'(h(x)) := v(\Psi(x))$. La acción es solo un funcional de los campos mismos, pero como vemos, el campo transformado depende tanto de una transformación vertical como de una horizontal.