Derivación del teorema de Noether para campos

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Derivación del teorema de Noether para campos

Física
simetría
teoría de campo
teorema de noethers
formalismo lagrangiano
teoría clásica del campo

Tamir Vered

He estado tratando de entender (de varias fuentes) cómo se deriva el teorema de campos de Noether, y al leer la página de Wikipedia sobre el teorema de Noether encontré lo siguiente:

Digamos que tenemos la siguiente transformación infinitesimal de coordenadas y campo:

X^{m} \to ξ^{m} = X^{m} + d X^{m}

$x^{\mu} \rightarrow \xi^{\mu}=x^{\mu}+\delta x^\mu$

ϕ \to α (ξ^{m}) = ϕ (X^{m}) + d ϕ (X^{m})

$\phi \rightarrow \alpha(\xi^{\mu})=\phi(x^{\mu})+\delta \phi(x^{\mu})$ y el cambio en la acción se puede escribir como la diferencia entre la integral del Lagrangiano sobre la región transformada

Ω^{'}

$\Omega'$ y la integral de la lagrangiana sobre la región original

Ω

$\Omega$ :

\int_{Ω^{'}} L (α, \partial_{v} α, ξ^{m}) d^{4} ξ - \int_{Ω} L (ϕ, \partial_{v} ϕ, X^{m}) d^{4} X

$\int_{\Omega'} {L(\alpha,\partial_{\nu}\alpha,\xi^\mu) d^{4}\xi} - \int_{\Omega} {L(\phi,\partial_{\nu}\phi,x^\mu) d^{4}x}$

El artículo dice que usando el teorema de la divergencia tiene cuatro dimensiones y asumiendo el cambio en la región $\Omega\rightarrow\Omega'$ se puede demostrar que la expresión anterior es equivalente a la siguiente:

\int_{Ω} L (α, \partial_{v} α, X^{m}) + \frac{\partial}{\partial X^{σ}} [L (ϕ, \partial_{v} ϕ, X^{m}) d X^{σ}] - L (ϕ, \partial_{v} ϕ, X^{m}) d^{4} X

$\int_{\Omega} {L(\alpha,\partial_{\nu}\alpha,x^\mu)+\frac {\partial} {\partial x^\sigma} [L(\phi,\partial_{\nu}\phi,x^\mu) \delta x^\sigma]-L(\phi,\partial_{\nu}\phi,x^\mu) d^{4}x}$

Traté de mostrar que esta transición es verdadera asumiendo que la primera integral de la expresión original es una divergencia de algún campo de 4 vectores pero no pude hacerlo bien, también intenté mostrar la misma transición basada en el jacobiano del cambio de variables hecho entre las integrales y no pudo hacerlo.

¿Alguien puede detallar esta transición para que quede claro por qué es correcta?

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Comenzando desde (tenga en cuenta que hay un error en su fórmula ya que el primer lagrangiano tiene que ser el primo, transformado, lagrangiano)

\int_{Ω^{'}} L^{'} (α, \partial_{v} α, ξ^{m}) d^{4} ξ - \int_{Ω} L (ϕ, \partial_{v} ϕ, X^{m}) d^{4} X

$\int_{\Omega'} {L^\prime(\alpha,\partial_{\nu}\alpha,\xi^\mu) d^{4}\xi} - \int_{\Omega} {L(\phi,\partial_{\nu}\phi,x^\mu) d^{4}x}$

si quieres cambiar el volumen de integración, tenemos que encontrar el jacobiano, que, dada la transformación, es simplemente

j = \frac{\partial ξ^{σ}}{\partial X^{σ}} = 1 + \partial_{σ} d X^{σ}

$J = \frac{\partial \xi^{\sigma}}{\partial x^\sigma} = 1 + \partial_\sigma\delta x^\sigma$

Si conectas esto en las integrales, encuentras

\int_{Ω} d^{4} X [(1 + \partial_{σ} d X^{σ}) L^{'} - L]

$\int_\Omega d^4x \left[(1+\partial_\sigma\delta x^\sigma)L^\prime-L\right]$

que a primera orden te deja con

\int_{Ω} d^{4} X [(L^{'} - L) + \partial_{σ} d X^{σ} L] = \int_{Ω} d^{4} X [Δ L + \partial_{σ} d X^{σ} L]

$\int_\Omega d^4x\,\left[(L^\prime-L)+\partial_\sigma\delta x^\sigma L\right] = \int_\Omega d^4x\left[\Delta L+\partial_\sigma\delta x^\sigma L\right]$

dónde $\Delta L$ es la variación total del lagrangiano. Esto está dado por

Δ L = L^{'} (α, \partial_{m} α, ξ^{m}) - L (ϕ, \partial_{m} ϕ, X^{m}) = \frac{\partial L}{\partial ϕ} d ϕ + \frac{\partial L}{\partial ϕ_{, m}} d ϕ_{, m} + \frac{\partial L}{\partial X^{m}} d X^{m} + d L (ϕ, \partial_{m} ϕ, X^{m})

$\Delta L = L^\prime(\alpha, \partial_\mu\alpha, \xi^\mu)-L(\phi, \partial_\mu\phi, x^\mu) = \frac{\partial L}{\partial \phi}\delta\phi+\frac{\partial L}{\partial\phi_{,\mu}}\delta\phi_{,\mu}+\frac{\partial L}{\partial x^\mu}\delta x^\mu+\delta L(\phi, \partial_\mu\phi, x^\mu)$

en primer orden en $\delta$ . Ahora podemos hacer algunas manipulaciones: la integral se convierte en

\int_{Ω} d^{4} X [\frac{\partial L}{\partial ϕ} d ϕ + \frac{\partial L}{\partial ϕ_{, m}} d ϕ_{, m} + \frac{\partial L}{\partial X^{m}} d X^{m} + d L (ϕ, \partial_{m} ϕ, X^{m}) + \partial_{σ} d X^{σ} L] = \int_{Ω} d^{4} X [d L + \frac{\partial L}{\partial ϕ} d ϕ + \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} d \partial_{m} ϕ + ((\partial_{m} L) d X^{m} + (\partial_{m} d X^{m}) L)]

$\int_\Omega d^4 x\left[\frac{\partial L}{\partial \phi}\delta\phi+\frac{\partial L}{\partial\phi_{,\mu}}\delta\phi_{,\mu}+\frac{\partial L}{\partial x^\mu}\delta x^\mu+\delta L(\phi, \partial_\mu\phi, x^\mu)+\partial_\sigma\delta x^\sigma L\right] \\ = \int_\Omega d^4 x\left[\delta L + \frac{\partial L}{\partial \phi}\delta\phi+\color{red}{\frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu \phi)}\delta\partial_\mu\phi} + \color{orange}{((\partial_\mu L)\delta x^\mu+(\partial_\mu\delta x^\mu)L)}\right]$

donde he cambiado el índice de silencio $\sigma$ a $\mu$ . El término rojo se puede reescribir como una divergencia usando la fórmula de distribución para la derivada

\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} d \partial_{m} ϕ = \partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)} d ϕ) - (\partial_{m} \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ)}) d ϕ

$\frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu \phi)}\delta\partial_\mu\phi = \partial_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu \phi)}\delta\phi\right)-\left(\partial_\mu\frac{\partial L}{\partial (\partial_\mu \phi)}\right)\delta\phi$

De la misma manera, el término naranja da

((\partial_{m} L) d X^{m} + (\partial_{m} d X^{m}) L) = \partial_{m} (L d X^{m})

$((\partial_\mu L)\delta x^\mu+(\partial_\mu\delta x^\mu)L) = \partial_\mu(L\delta x^\mu)$

por lo que la integral se convierte en

\int_{Ω} d^{4} X [d L + (\frac{\partial L}{\partial ϕ} - \partial_{m} \frac{\partial L}{\partial ϕ_{, m}}) d ϕ + \partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial ϕ_{, m}} d ϕ) + \partial_{m} (L d X^{m})]

$\int_\Omega d^4 x \left[\delta L +\color{red}{\left(\frac{\partial L}{\partial\phi}-\partial_\mu\frac{\partial L}{\partial \phi_{,\mu}}\right)\delta\phi}+\partial_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial \phi_{,\mu}}\delta\phi\right)+\partial_\mu(L\delta x^\mu)\right]$

el término rojo es cero para la ecuación de Euler-Lagrange. así que al final

\int_{Ω} d^{4} X [d L + \partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial ϕ_{, m}} d ϕ + L d X^{m})]

$\int_\Omega d^4 x \left[\delta L+\partial_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial \phi_{,\mu}}\delta\phi+L\delta x^\mu\right)\right]$

que es exactamente tu resultado una vez que anotas la diferencia entre los dos lagrangianos.

Solo para ser completo, permítanme terminar la prueba poniendo a cero la integral y notando que $\delta L$ solo puede ser una derivada total $\delta L = \partial_\mu\delta \Lambda^\mu$ y conseguir

\int_{Ω} d^{4} X \partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial ϕ_{, m}} d ϕ + L d X^{m} + d Λ^{m}) = 0 ⟹ \partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial ϕ_{, m}} d ϕ + L d X^{m} + d Λ^{m}) = 0

$\int_\Omega d^4 x\, \partial_\mu\left(\frac{\partial L}{\partial \phi_{,\mu}}\delta\phi+L\delta x^\mu+\delta\Lambda^\mu\right) = 0 \implies \partial_\mu \left(\frac{\partial L}{\partial \phi_{,\mu}}\delta\phi+L\delta x^\mu+\delta\Lambda^\mu\right) = 0$

Por lo tanto, la corriente conservada está dada por

j^{m} = \frac{\partial L}{\partial ϕ_{, m}} d ϕ + L d X^{m} + d Λ^{m}

$J^\mu = \frac{\partial L}{\partial \phi_{,\mu}}\delta\phi+L\delta x^\mu+\delta\Lambda^\mu$

Notación:

Se me acaba de ocurrir que muchos no estarán familiarizados con esta notación que se toma prestada de la relatividad general, así que lo dejaré aquí.

\partial_{m} ϕ = ϕ_{, m}

$\partial_\mu\phi = \phi_{,\mu}$

¿Por qué no es el último? $L$ etiquetado después de donde dijiste "que en el primer pedido te deja"? Además, ¿por qué se aplica la derivada parcial del jacobiano al producto? $\delta x^\mu L$ y no solo a la $\delta x^\mu$ ? Gracias por la respuesta detallada por cierto.
El $L$ no está preparado desde $L^\prime = \Delta L + L$ que, cuando se multiplica por $\partial_\mu\delta x^\mu$ te deja solo con el $L$ no preparado, ya que $\Delta L$ es la variación de primer orden en $\delta$ y cuando se multiplica por el elemento del jacobiano se convierte en segundo orden, que no se toma. En segundo lugar, en $\partial_\mu\delta x^\mu L$ , la derivada se aplica sólo sobre $\delta x^\mu$ , ¡lo he borrado en el siguiente paso!
Entendido... muchas gracias, realmente ayudó a aclarar todo...
En esta y otras derivaciones que he visto me parece que el $\alpha_{,\nu}$ en el original $L'$ es en realidad $\partial\alpha/\partial x_\nu$ (tal que es igual a $\phi_{,\nu}+\delta\phi_{,\nu}$ ) en vez de $\partial\alpha/\partial\xi_\nu$ (que es igual a $\phi_{,\nu}+\delta\phi_{,\nu}-\phi_{,\mu}\delta x_{\nu,\mu}$ de primer orden). ¿Por qué es el último término, $\delta\phi_{,\nu}\delta x_{\nu,\mu}$ , descuidado? (Además, perdone que baje todos los índices; no conozco las reglas lo suficientemente bien como para tratar de dar cuenta de eso).

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Tamir Vered

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