¿Cómo obtener el álgebra de simetría?

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¿Cómo obtener el álgebra de simetría?

Física
simetría
teoría de campo
lorentz-simetría
teorema de noethers
formalismo lagrangiano

carnero ganesh

Haciendo una transformación de coordenadas infinitesimales $x^\mu$ --> $x^\mu + \epsilon^\mu$ correspondiente a una simetría de una teoría dada, se puede obtener la ecuación de Killing y, por lo tanto, obtener el vector Killing $\epsilon = \epsilon^\mu\partial_\mu$ . Por ejemplo, para el grupo de simetría conforme, los vectores Killing son

\begin{aligned} {metro}_{m v} \equiv i (X_{m} \partial_{v} - X_{v} \partial_{m}), \\ {pag}_{m} \equiv - i \partial_{m}, \\ d \equiv - i X_{m} \partial^{m}, \\ k_{m} \equiv i (X^{2} \partial_{m} - 2 X_{m} X_{v} \partial^{v}) . \end{aligned}

$\begin{align} & m_{\mu\nu} \equiv i(x_\mu\partial_\nu-x_\nu\partial_\mu) \,, \\ &p_\mu \equiv-i\partial_\mu \,, \\ &d \equiv-ix_\mu\partial^\mu \,, \\ &k_\mu \equiv i(x^2\partial_\mu-2x_\mu x_\nu\partial^\nu) \,. \end{align}$

Ahora, cada transformación de simetría conduce a una carga conservada y satisfacen un álgebra. Para el grupo conforme, el álgebra de cargas conservadas es

\begin{aligned} [D, k_{m}] = - i k_{m}, \\ [D, {PAG}_{m}] = i {PAG}_{m}, \\ [k_{m}, {PAG}_{v}] = 2 i η_{m v} D - 2 i {METRO}_{m v}, \\ [k_{m}, {METRO}_{v ρ}] = i (η_{m v} k_{ρ} - η_{m ρ} k_{v}), \\ [{PAG}_{ρ}, {METRO}_{m v}] = i (η_{ρ m} {PAG}_{v} - η_{ρ v} {PAG}_{m}), \\ [{METRO}_{m v}, {METRO}_{ρ σ}] = i (η_{v ρ} {METRO}_{m σ} + η_{m σ} {METRO}_{v ρ} - η_{m ρ} {METRO}_{v σ} - η_{v σ} {METRO}_{m ρ}), \end{aligned}

$\begin{align} &[D,K_\mu]=-iK_\mu \,, \\ &[D,P_\mu]=iP_\mu \,, \\ &[K_\mu,P_\nu]=2i\eta_{\mu\nu}D-2iM_{\mu\nu} \,, \\ &[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu ) \,, \\ &[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu) \,, \\ &[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})\,, \end{align}$

Para obtener el álgebra anterior, uno puede simplemente considerar los vectores Killing como cargas y encontrar las relaciones del conmutador. Pero, sé que este método no siempre funciona ya que por ejemplo en 2D CFT, el álgebra de vectores Killing es el álgebra de Witt, mientras que las cargas satisfacen el álgebra de Virasoro y esta última se diferencia de la anterior por una extensión central.

Entonces mi pregunta es, ¿cuándo falla el método de encontrar el álgebra de cargas simplemente tomando el conmutador del vector Killing?

Respuestas (1)

¿Cómo obtener el álgebra de simetría?

Valter Moretti · Answer 1

Bueno, el punto es que las simetrías de Killing solo conciernen a la geometría. En cambio, los cargos se refieren al sistema físico peculiar (clásico o cuántico) que está considerando, que contiene mucha más información también y especialmente de naturaleza no geométrica. Ya en la formulación hamiltoniana clásica hay espacio para las cargas centrales cuando se representa el álgebra de Lie de las simetrías de Killing usando el paréntesis de Lie. $[\cdot, \cdot]_L$ en términos de un álgebra de Lie de cargas hamiltonianas con paréntesis de Lie dado por el corchete de Poisson $\{\cdot, \cdot\}$ .

Por un lado tienes cargas físicas $Q$ obtenido por una teoría específica (Hamiltoniana), por otro lado, tiene campos de muerte geométricos fijos $X$ , independiente del sistema físico porque es común a todos los sistemas físicos.

Lo que dice la teoría es que

(a) existe un mapa lineal $Q \to X_Q$ , satisfactorio

\begin{matrix} (1) & [X_{q}, X_{q^{'}}]_{L} = X_{{q, q^{'}}} . \end{matrix}

$[X_Q,X_{Q'}]_L= X_{\{Q,Q'\}}\:.\tag{1}$ Sin embargo,

(b) el mapa no es inyectivo, ya que

\begin{matrix} (2) & X_{q} = X_{q + C} \end{matrix}

$X_Q = X_{Q+c}\tag{2}$ por cada constante

c

$c$ .

Si $X_{Q_k}$ , $k=1,\ldots, n$ es una base del álgebra de mentira de las simetrías de Killing,

[X_{q_{i}}, X_{q_{j}}]_{L} = C_{i j}^{k} X_{q_{k}} = X_{C_{i j}^{k} q_{k}}

$[X_{Q_i},X_{Q_j}]_L = C_{ij}^k X_{Q_k}= X_{C_{ij}^kQ_k}$ donde usé la convención de suma sobre índices repetidos. Comparando con (1)

X_{C_{i j}^{k} q_{k} - {q_{i}, q_{j}}} = 0

$X_{C_{ij}^kQ_k - \{Q_i,Q_j\}}=0$ Sin embargo (2) implica que puede haber constantes antisimétricas

c_{i j}

$c_{ij}$ , las famosas cargas centrales tales que

C_{i j}^{k} q_{k} - {q_{i}, q_{j}} = - C_{i j}

$C_{ij}^kQ_k - \{Q_i,Q_j\} = -c_{ij}$ y por lo tanto

{q_{i}, q_{j}} = C_{i j}^{k} q_{k} + C_{i j}

$\{Q_i,Q_j\} = C_{ij}^kQ_k + c_{ij}$ Si el álgebra de Lie satisface alguna condición co-homológica, es posible redefinir las cargas mediante la suma de constantes,

q_{k} \to q_{k}^{'} = q_{k} + F_{k}

$Q_{k} \to Q_k' = Q_k + f_k$ para que, por un lado, los campos Killing asociados permanezcan fijos, por otro lado

{q_{i}^{'}, q_{j}^{'}} = C_{i j}^{k} q_{k}^{'}

$\{Q'_i,Q'_j\} = C_{ij}^kQ'_k$ (Basta con que

C_{i j}^{k} f_{k} = c_{i j}

$C_{ij}^k f_k= c_{ij}$ ).

La imagen a nivel cuántico es esencialmente idéntica, simplemente reemplazando las cargas con al menos operadores (anti)simétricos definidos en un dominio denso común y el paréntesis de Poisson se reemplaza por el conmutador de operadores (hay muchas sutilezas aquí cuando se trata de levantar la representación del álgebra a una representación unitaria del grupo de simetría, pero en estas no insisto ahora). De nuevo pueden aparecer cargas centrales porque la cuantización se refiere a las cargas hamiltonianas y no al grupo de Lie de las isometrías de Killing.

Por lo general, las cargas centrales llevan alguna información física que la geometría no puede abarcar porque no puede distinguir entre los diversos sistemas físicos que viven en el mismo fondo. El ejemplo típico es la masa del sistema con respecto a la simetría galileana .

Uno de los subgrupos de un parámetro del grupo de Galileo Lie es el impulso que cambia las velocidades de cada parte del sistema al agregar una velocidad común. Sin embargo, en la formulación hamiltoniana/cuántica, las variables son posiciones y cantidad de movimiento y la cantidad de movimiento está relacionada con la velocidad por medio de la masa $m$ . Esto es diferente para diferentes sistemas y no está seleccionado por la geometría. El lugar donde tiene lugar esta información no geométrica es solo una carga central.

{k_{i}, {PAG}_{j}} = metro d_{i j},

$\{K_i,P_j\}= m\delta_{ij}\:,$

$K_i$ siendo el generador de la transformación de impulso a lo largo de la $i$ -ésimo eje, a comparar con el geométrico correspondiente

[X_{k_{i}}, X_{{PAG}_{j}}]_{L} = 0 .

$[X_{K_i},X_{P_j}]_L= 0\:.$

La versión cuántica está afectada por la misma carga central cuya naturaleza, sin embargo, es clara.

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carnero ganesh

Respuestas (1)

Valter Moretti

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