¿Qué constituye una simetría para el Teorema de Noether?

Una simetría de una teoría clásica descrita por una acción.$S[\varphi]$dónde$\varphi$es el conjunto de todos los campos en la teoría es una redefinición de campo$\varphi(x) \to \varphi'(x)$tal que$S[\varphi] = S[\varphi']$. Nótese que la redefinición del campo es tal que no actúa sobre las coordenadas$x$.$^\dagger$Tenga en cuenta también que esta definición de simetría está fuera de la cáscara.

El enunciado del teorema de Noether es que por cada simetría fuera de capa continua conectada (a la identidad) de una acción, existe una corriente$j_\mu(x)$que se conserva en la concha . Por lo tanto, aunque la simetría existe en un nivel fuera de la capa, la corriente solo se conserva dentro de la misma.

Una simetría de una teoría cuántica es una redefinición de campo$\varphi(x) \to \varphi'(x)$tal que la medida de la integral de trayectoria es invariante

$^\dagger$_{Esto es crucial y, a menudo, es algo con lo que mucha gente se confunde. En las teorías de campos, todas las transformaciones de simetría actúan solo sobre los campos, no sobre las coordenadas. A menudo nos gusta hablar de simetrías del espacio-tiempo que se describen como actuando en coordenadas de alguna manera.$x \to x'$. Sin embargo, es crucial recordar que se trata simplemente de una herramienta para empaquetar información sobre cómo se transforman los campos. Por ejemplo, es posible que desee hablar sobre las traducciones. Esto se describe mediante la redefinición de campo$\phi(x) \to \phi'(x)$dónde$\phi'(x+a) = \phi(x)$. Tenga en cuenta que la ecuación$\phi'(x+a) = \phi(x)$debe entenderse como una manera de deducir lo que es$\phi'(x)$en términos de$\phi(x)$y no como traslaciones actuando sobre las coordenadas de alguna manera.}

1. Por simetría se entiende una simetría fuera de capa. Una simetría en el caparazón es una noción vacía, como OP ya ha señalado. Consulte también esta publicación Phys.SE relacionada.

2. El teorema de Noether puede generalizarse a cuasi-simetrías, cf. mi Phys.SE responde aquí y aquí .

La fuente de su confusión proviene de la definición de simetría de acción. Cuando el teorema de Noether dice que una operación de simetría es la que permanece invariante a la acción no significa$\delta S = 0$en el sentido de encontrar trayectorias clásicas. Recuerde que la demostración del teorema de Noether utiliza la ecuación clásica de Euler-Lagrange. Eso significa que el cálculo se realiza en shell. Aquí se examina la invariancia de la acción para la operación de simetría particular. Eso incluye simetría externa como$x -> x' = \lambda x$o simetría interna como$\phi -> \phi'$. Entonces ves la variación de la acción con respecto a estas variaciones. Si la acción es invariante, entonces la llamas simetría. Por otro lado$\delta S = 0$significa la variación de la acción sobre sus parámetros y ponerlos a cero.

Las propiedades de simetría del funcional de acción son independientes de las ecuaciones de movimiento (están fuera de la cáscara). Simplemente significa que bajo transformaciones como$t\rightarrow t'=t+\epsilon f(q,t)$,$q\rightarrow q'=q+\epsilon g(q,t)$la acción es invariante, es decir,$S'=S$, que normalmente se denota por$\delta S\equiv S'-S=0$

Ambas, simetrías (continuas) de la acción y del lagrangiano, dan cantidades conservadas. Sin embargo, las transformaciones que no dejan invariante lagrangiana también pueden dar cantidades conservadas. Es decir, si el lagrangiano es cuasi-invariante,$L'=L+\epsilon\frac{d\sigma(q,t)}{dt}$, entonces la acción (así como las ecuaciones de movimiento) permanece invariable y hay una cantidad conservada que depende del término de superficie$\sigma$.

Por otro lado, para demostrar el Teorema de Noether se hace uso de las ecuaciones de los movimientos. Por lo tanto, una simetría continua de la acción implica una cantidad conservada en el caparazón.