¿Qué transformaciones *no* son simetrías de un Lagrangiano?

Según tengo entendido, el teorema de Noether para los campos funciona, como se explica en las notas de clase de QFT de David Tong (página 14), por ejemplo, al decir que una transformación ϕ ( X ) ↦ ϕ ( X ) + d ϕ ( X ) se llama simetría si produce un cambio en la densidad lagrangiana que se puede expresar como una divergencia cuádruple,

(1.35) d L = ∂ m F m
para algún campo de 4 vectores F m .

Luego pasamos a mostrar que el cambio en esta densidad lagrangiana también puede expresarse para una transformación arbitraria como

(1.37) d L = ∂ m ( ∂ L ∂ ( ∂ m ϕ ) d ϕ ) .

Que es una 4-divergencia. Entonces, ¿cómo podríamos decir que cualquier transformación no es una simetría en el sentido anterior?

Respuestas (1)

El punto es que la ec. (1.35) debe mantenerse fuera de la cáscara para tener una simetría, mientras que la ec. (1.37) solo puede contener en el caparazón.

[El término on-shell (en este contexto) significa que se cumplen las ecuaciones de Euler-Lagrange. Ver también esta publicación de Phys.SE.]

En otras palabras: en el caparazón, la acción solo cambiará como máximo con un término límite para cualquier variación infinitesimal, ya sea simetría o no.

Expresado de otra manera: por simetría se entiende una simetría fuera de capa. Una simetría on-shell es una noción vacía.

¡Ah, sí, por supuesto! Y ec. (1.35) debe estar fuera de la carcasa para que la acción siga siendo mínima (ya que las trayectorias cercanas de la nueva trayectoria cambiarán su acción en la misma cantidad cada una)
En otra nota, incluso si d L no tiene una forma de divergencia 4 fuera de la capa, ¿puede, por ejemplo, ser igual a cero en la trayectoria dentro de la capa y, por lo tanto, dar una densidad de corriente 4 conservada, aunque nuestra transformación no fuera una simetría?
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