Simetría global U(1)U(1)U(1) del modelo Abelian-Higgs 2+1D

En el modelo de Abelian-Higgs,

(5.34) S = ∫ d 3 X { − 1 4 gramo 2 F m v F m v + | D ϕ | 2 − a | ϕ | 2 − b | ϕ | 4 }

hay un tu ( 1 ) simetría de calibre. En las notas de la conferencia de David Tongs The Quantum Hall Effect , capítulo 5, en la página 169, dice que también hay una simetría global menos obvia, con la corriente

(5.35) ⋆ j = 1 2 π d b .

Entiendo que la corriente se conserva por una razón obvia. Pero, ¿por qué el flujo corresponde a un global? tu ( 1 ) ¿simetría? que es esto mundial tu ( 1 ) ¿simetría?

Respuestas (2)

Cualquier teoría abeliana de gauge tiene un tu ( 1 ) simetría global con la corriente j = ⋆ F en virtud de la identidad de Bianchi,

d ⋆ j = d F = 0.

Primero suponga que la teoría es de 4 dimensiones, en cuyo caso esta simetría es un poco más familiar. En este caso j es una forma 2. El cargo asociado

q = ∫ S 2 ⋆ j = ∫ S 2 F

mide el flujo magnético de un operador de línea H ( C ) (el "operador de línea `t Hooft") que se admite en una línea C que vincula la S 2 . Corresponde a la línea de mundo de un monopolo magnético de sonda, y q mide el flujo magnético del monopolo de la misma manera que ∫ S 2 ⋆ F mide el flujo eléctrico en la línea de mundo de una carga eléctrica. Estas se denominan simetrías globales de 1 forma, porque los operadores cargados se admiten en las líneas.

La misma historia transcurre en cualquier dimensión d > 2 . Obtenemos un ( d − 3 ) -forma simetría global, lo que significa que los operadores cargados son compatibles con ( d − 3 ) -variedades que unen una 2-esfera sobre la cual medimos la carga ∫ S 2 F .

En 3 dimensiones, j = ⋆ F es una forma 1, por lo que esta es una simetría global ordinaria. Los operadores de 't Hooft son operadores monopolares magnéticos puntuales, cuya carga es nuevamente el flujo magnético.

Estamos considerando una teoría de calibre U(1), lo que significa que hay un operador local invariante de calibre llamado F en el espectro, y satisface d F = 0 . No hay nada que verificar, es parte de la definición, así que no estoy seguro de lo que quieres decir
@AccidentalFourierTransform A no está acoplado a j, j es dA y se conserva por razones topológicas. Algo más se acopla a j, digamos B, por lo que el acoplamiento se parece a BdA.
@AccidentalFourierTransform Por definición, la teoría cuántica contiene un operador local F que está cerrado. Por lo tanto, el espectro incluye una corriente conservada ⋆ F . Si lo desea, puede acoplar la corriente a un campo de indicador de fondo, pero su comentario parece poner el orden lógico al revés
Eso está mal, porque j es una función de A, que es dinámica, no del campo indicador de fondo, que no está integrado. Está confundiendo la identidad de Bianchi con el campo de calibre dinámico (que está garantizado por la definición de la teoría de calibre) y la identidad de Bianchi con el campo de calibre de fondo (que es equivalente a la conservación actual).
Gracias. ¿Por qué se relaciona con tu ( 1 ) ¿grupo? Lo veo conservado automáticamente. ¿Dónde está el tu ( 1 ) ¿viene de?
U(1) es porque las integrales de d b / 2 π (las cargas) son números enteros en superficies cerradas.
@NewStudent La simetría actúa como O ( X ) → mi i α ∫ S 2 F O ( X ) . Como dijo Ryan, los períodos de F se cuantifican en múltiplos de 2 π , entonces α ∈ R / Z se valora el círculo. Entonces el grupo de simetría es U(1).
¿Por qué actúa como O ( X ) → mi i α ∫ S 2 F O ( X ) ?

Las formas 2 de período entero conservadas corresponden a tu ( 1 ) simetrías globales por el teorema de Noether. Esta simetría actúa sobre los operadores instantón pero no sobre los campos. Si aplica la dualidad partícula-vórtice, esta es la simetría de cambio de la dual tu ( 1 ) escalar.

Gracias. ¿Podría agregar más detalles? Solo puedo ver la corriente de Noether − i ( D ϕ ) † ϕ + i ϕ † D ϕ .
Su d b / 2 π es la otra corriente de Noether. Escribí un artículo sobre esto con Zohar Komargodski, Adar Sharon y Xinan Zhou arxiv.org/abs/1705.04786 . Échale un vistazo.
Pero la corriente de Noether se conserva en el caparazón. Esta corriente topológica se conserva automáticamente. ¿Por qué eso está relacionado con tu ( 1 ) ¿grupo?
¿Podrías explicarme qué ∫ A ∪ w 3 ¿medio? ¿Hay algún libro de texto de matemáticas que explique estas matemáticas?
Esto se explica en cualquier libro de texto que discuta la cohomología simplicial, Topología algebraica de Hatcher, por ejemplo, está disponible en línea en math.cornell.edu/~hatcher/AT/ATpage.html . Estas expresiones también se pueden entender en un entorno continuo, que explicamos aquí arxiv.org/abs/1404.3230 en la página 21.
Simetría global U(1)U(1)U(1) del modelo Abelian-Higgs 2+1D
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