Corriente conservada de un campo de Klein-Gordon

Este problema está estrechamente relacionado con el Problema 7 en este conjunto de problemas del curso QFT de David Tong: http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/oh1.pdf

Así que estoy estudiando un campo de Klein-Gordon$\phi$con lagrangiano$\mathcal{L}=\frac{1}{2} ( \partial_{\mu} \phi )(\partial^{\nu} \phi) - \frac{1}{2} m \phi^{2}$.

Estoy lidiando con las consecuencias del Teorema de Noether como resultado de la simetría$x^{\mu} \to x^{\mu} + \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu}$, dónde$\omega^{\mu}_{\ \nu}$es un tensor antisimétrico infinitesimal (en general, esto es esencialmente una transformación de Lorentz infinitesimal). Esto me da una variación de campo.$\delta \phi = - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} (\partial_{\mu} \phi)$.

eso lo he podido demostrar$\delta \mathcal{L} = \partial_{\mu}( - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} \mathcal{L} ) := \partial_{\mu} F^{\mu}$. Entonces, usando la prueba del teorema de Neother, sé que puedo construir la siguiente corriente conservada:

$$\begin{align}j^{\lambda} &= \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial( \partial_{\lambda} \phi ) } \delta \phi - F^{\lambda} \\ &= - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial( \partial_{\lambda} \phi ) } ( \partial_{\mu} \phi ) + \omega^{\lambda}_{\ \nu} x^{\nu} \mathcal{L} \\ &= - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} \left( \frac{ \partial \mathcal{L} }{ \partial( \partial_{\lambda} \phi ) } ( \partial_{\mu} \phi ) - \delta^{\lambda}_{\ \nu} \mathcal{L} \right) \\ &= - \omega^{\mu}_{\ \nu} x^{\nu} T_{\ \nu}^{\lambda}\end{align}$$

dónde$T$es el tensor de impulso de energía.

Esta es la respuesta para la corriente conservada en el enlace de arriba. Estoy bien con todo hasta ahora.

$\ $

Mi pregunta:

De alguna manera se supone que debo tomar lo anterior y obtener la corriente conservada:

$$(j^{\lambda})^{\nu \mu} = x^{\nu} T^{\mu \lambda} - x^{\mu} T^{\nu \lambda}$$

¿Cómo hago esto? Como es que de repente tengo los dos extra'$\mu\nu$'' componentes? Mi conjetura es que de alguna manera tengo que "pelar" el$\omega_{\mu\nu}$de lo anterior$j^{\lambda}$, y usa la antisimetría de$\omega$, pero no sé cómo hacer esto.

Además: Supuestamente, hay seis de las corrientes anteriores$(j^{\lambda})^{\nu\mu}$... ¿De dónde viene este número? ¿Cómo es ese el caso?