Densidad lagragiana de un campo escalar sin masa

Hay diferentes tipos de respuestas posibles, dependiendo de dónde vengas. Daré algunos.

1. Considere todas las densidades lagrangianas posibles que podemos escribir, y que son invariantes de Lorentz, no son triviales y tienen un estado de vacío estable. Entonces, las fórmulas que diste son, literalmente, las opciones más simples posibles:

   • $\mathcal L$debe ser una función de$\phi$y$\partial_\mu\phi$.
   • $\mathcal L$debe contener$\partial_\mu\phi$en algún lugar, de lo contrario la teoría sería trivial porque$\phi$no sería dinámico.
   • El escalar de Lorentz más simple que podemos construir con$\partial_\mu \phi$es$\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi$.
   • Yendo más allá de eso, la siguiente opción más simple podría ser$\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi + c \phi$, pero esta teoría no tiene un vacío/estado fundamental estable, porque el potencial$V(\phi) = -c\phi$no está acotado desde abajo.
   • Por lo tanto, la siguiente opción más simple es$\partial_\mu\phi \partial^\mu\phi - m^2 \phi^2$.

2. Quiere describir un campo que satisfaga la ecuación de Klein-Gordon$\partial_\mu\partial^\mu \phi = 0$. Escribes la densidad lagrangiana$\mathcal L \sim \partial_\mu\phi \partial^\mu\phi$y vea que sigue la ecuación correcta de movimiento.

3. Comienza con una serie de osciladores acoplados y escribe su acción como en la mecánica clásica (relativista). Si hay muchos osciladores juntos, pueden describirse aproximadamente como un campo clásico. Realizar esta aproximación produce una expresión para la acción en términos de la densidad lagrangiana$\mathcal L \sim \partial_\mu\phi \partial^\mu\phi - m^2\phi^2$.