Corrientes conservadas en el Teorema de Noether con parámetro variable

Tengo una transformación continua en el campo.$\phi$de la forma

$$\phi(x)\rightarrow \phi'(x)=\phi(x)+\alpha\Delta\phi(x),\tag{1}$$

dónde$\alpha$es un parámetro infinitesimal constante y$\Delta\phi$es una deformación del campo. Tenga en cuenta que en esta notación (Peskin y Schroeder uno)$\delta\phi=\alpha\Delta\phi$

Para tener una simetría, mi acción debe ser invariante hasta un término de superficie, por lo que mi lagrangiano debe ser invariante hasta una 4-divergencia:

$$\begin{equation} \mathcal{L}\rightarrow\mathcal{L}+\alpha\partial_\mu J^\mu.\tag{2} \end{equation}$$

Ahora procedemos variando el Lagrangiano:

$$\begin{equation} \delta\mathcal{L}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu(\delta\phi)=\alpha\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\Delta\phi+\alpha\partial_\mu\Big(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\Big)-\alpha\partial_\mu\Big(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Big)\Delta\phi.\tag{3} \end{equation}$$

Ahora, el primer y el tercer término se cancelan debido a las ecuaciones de Euler-Lagrange.

Si quiero satisfacer mi simetría, la variación que acabo de calcular tiene que ser igual a la 4-divergencia:

$$\begin{equation} \alpha\partial_\mu\Big(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\Big)=\alpha\partial_\mu J^\mu \rightarrow \alpha\partial_\mu\Big(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-J^\mu\Big)=0 .\tag{4} \end{equation}$$

Así, la cantidad

$$j^\mu=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi-J^\mu\tag{5}$$ se conserva

Y esto me queda bastante claro. Pero que si$\alpha=\alpha(x)$?

$\textbf{My attempt}$:

Desde$\alpha$es una función de$x$, la cantidad$\partial_\mu(\delta\phi)=\partial_\mu(\alpha\Delta\phi)$se convierte$\Delta\phi\partial_\mu \alpha+\alpha\partial_\mu \Delta\phi$

$$\begin{equation} \delta\mathcal{L}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\delta\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\partial_\mu(\delta\phi)=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi}\alpha\Delta\phi+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\partial_\mu \alpha+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\alpha\partial_\mu \Delta\phi.\tag{6} \end{equation}$$

El primer y el tercer término dan lugar a un término$\alpha\Delta\mathcal{L}$, exactamente como el que obtenemos con constante$\alpha$.

Y a partir de aquí mis ideas empiezan a enturbiarse.

Entonces, obtuve mi acción variando como:

$$\delta S=\int d^4x\Big(\alpha\Delta\mathcal{L}+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\partial_\mu \alpha\Big)=\int d^4x\Big(\alpha\partial_\mu\Big(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\Big)+\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi(\partial_\mu \alpha)\Big)$$ $$=\int d^4x \partial_\mu \Big(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\alpha\Big).\tag{7}$$

Ahora, si tengo una simetría, mi acción es invariante hasta un término límite, por lo tanto, una integral de$\alpha\partial_\mu J^\mu$. Entonces obtengo el mismo resultado que la corriente conservada$j^\mu$.

$\textbf{My question}$:

En las notas de Tong ( http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/one.pdf ) en la página 19 hay un enfoque totalmente diferente. Él dice que el Lagrangiano varía como

$$\begin{equation} \delta\mathcal{L}=(\partial_\mu \alpha)h^\mu\tag{8} \end{equation}$$ dónde $h^\mu$es la corriente conservada. Usando mi notación, supongo que esto es cierto solo para los casos en los que $\delta\mathcal{L}=0$para $\alpha$=const, por lo tanto para $J^\mu=0$.

Pero Mi profesor, y también algunas otras notas, dice que desde

$$\begin{equation} \delta S=\int d^4x(\partial_\mu \alpha) h^\mu\tag{9} \end{equation}$$

si quiero encontrar la corriente conservada, todo lo que tengo que hacer es variar el Lagrangiano que me dan asumiendo$\alpha=\alpha(x)$y luego simplemente busque la cantidad "junto a"$\partial_\mu \alpha$. ¿No es esto cierto sólo para los casos en que

$$\delta\mathcal{L}=0\quad\text{for}\quad \alpha=\text{const}? \tag{10}$$

No dijo nada al respecto, sugiriendo que este es el caso más general.