Campo escalar en espacios curvos

Question

Campo escalar en espacios curvos

Física
teoría de campo
teorema de noethers
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gertiano

¿Cómo encontramos el tensor de momento de energía como carga de Noether para traslaciones en espacios curvos? Esto aún debería existir ya que la acción sigue siendo una integral sobre el espacio, de modo que es invariante bajo las traslaciones, ¿verdad?

Intento de solución

Nuestro Lagrangiano será de la forma: $\mathcal{L} = \mathcal{L}[\phi, \partial_\mu \phi]$ y las correspondientes ecuaciones de Euler Lagrange son:

\frac{\partial L}{\partial ϕ} - \nabla_{m} \frac{\partial L}{\partial \partial_{m} ϕ} = 0

$\frac {\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} - \nabla_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi} = 0$

1) Para obtener la carga Noether debemos exigir que la variación on-shell de $\mathcal{L}$ es un término superficial de hecho, encontramos que:

d L = \frac{\partial L}{\partial ϕ} d ϕ + \partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial \partial_{m} ϕ} d ϕ) - \partial_{m} (\frac{\partial L}{\partial \partial_{m} ϕ}) d ϕ

$\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}\delta \phi + \partial_\mu(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi}\delta \phi) - \partial_\mu(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi})\delta \phi$ Las dos derivadas parciales en el segundo y tercer término se pueden cambiar a derivadas covariantes ya que los símbolos de Christoffel adicionales se cancelarán. Después de hacerlo, encontramos que el primer y tercer término se cancelan debido a las ecuaciones de movimiento, de modo que terminamos con:

d L = \nabla_{m} (\frac{\partial L}{\partial \partial_{m} ϕ} d ϕ)

$\delta \mathcal{L} = \nabla_\mu(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \partial_\mu \phi}\delta \phi)$

2)También debemos estudiar la variación del Lagragiano debido a la variación de los campos estos cambios son:

$x^\mu \rightarrow x^\mu + \epsilon^\mu$ tal que $\phi \rightarrow \phi + \epsilon^\mu \partial_\mu \phi$ por lo tanto encontramos que (para un escalar libre):

d L = - \partial_{m} ϕ \partial^{m} d ϕ

$\delta \mathcal{L} = -\partial_\mu \phi \partial^\mu \delta \phi$

= - \partial_{m} ϕ \partial^{m} (ϵ^{k} \partial_{k} ϕ)

$=-\partial_\mu \phi \partial^\mu(\epsilon^\kappa \partial_\kappa \phi)$

= ϵ^{k} \partial_{k} (- 1 / 2 \partial_{m} ϕ \partial^{m} ϕ) = ϵ^{k} \partial_{k} (L)

$=\epsilon^\kappa \partial_\kappa(-1/2 \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi) = \epsilon^\kappa \partial_\kappa(\mathcal{L})$

3) El siguiente paso suele ser afirmar que $j_\mu$ = (1) - (2) se conserva $(\nabla_\mu J^\mu = 0)$ pero no puedo encontrar ninguna forma de reescribir (2) de modo que contenga solo derivadas covariantes. Creo que me equivoqué en alguna parte en mi derivación del punto 2, pero no puedo resolverlo ...

¡Cualquier ayuda sería muy apreciada! :)

Respuestas (3)

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Kosmo · Answer 1

La corriente de Noether de simetría de traducción local (= invariancia de difeomorfismo) en el espacio-tiempo curvo es, de hecho, el tensor de tensión-energía. Para derivarlo, recuerde que la transformación de coordenadas infinitesimales, $x^m\rightarrow x^m+\epsilon^m$ , induce la transformación del tensor métrico, $g^{mn}\rightarrow g^{mn}+\nabla^m\epsilon^n +\nabla^n\epsilon^m$ ( $\nabla^m$ = derivada covariante).

Varíe la acción con respecto a la métrica y su derivada.

\begin{matrix} (1) & d S = d \int d^{4} X \sqrt{- gramo} L = \int d^{4} X [\frac{\partial \sqrt{- gramo} L}{\partial {gramo}^{metro norte}} d {gramo}^{metro norte} + \frac{\partial \sqrt{- gramo} L}{\partial (\partial_{pag} {gramo}^{metro norte})} d (\partial_{pag} {gramo}^{metro norte})] . \end{matrix}

$\delta S=\delta\int d^4x\sqrt{-g}\mathcal{L}=\int d^4x\left[ \frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial g^{mn}}\delta g^{mn}+\frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial(\partial_p g^{mn})}\delta(\partial_p g^{mn}) \right].\tag{1}$

Integrar por partes el segundo término en $(1)$ , entonces

\begin{matrix} (2) & d S = \int d^{4} X [\frac{\partial \sqrt{- gramo} L}{\partial {gramo}^{metro norte}} - \partial_{pag} (\frac{\partial \sqrt{- gramo} L}{\partial (\partial_{pag} {gramo}^{metro norte})})] d {gramo}^{metro norte} = \end{matrix}

$\delta S=\int d^4x\left[ \frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial g^{mn}}-\partial_p\left(\frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial(\partial_p g^{mn})}\right) \right]\delta g^{mn}= \tag{2}$

\begin{matrix} (3) & = \int d^{4} X \sqrt{- gramo} T_{metro norte} \nabla^{metro} ϵ^{norte} \end{matrix}

$=\int d^4x\sqrt{-g}\;T_{mn}\nabla^m\epsilon^n \tag{3}$

donde en el último paso usé $\delta g^{mn}=\nabla^m\epsilon^n +\nabla^n\epsilon^m$ y tensor tensión-energía definido $T_{mn}$ como

\frac{1}{2} \sqrt{- gramo} T_{metro norte} \equiv \frac{\partial \sqrt{- gramo} L}{\partial {gramo}^{metro norte}} - \partial_{pag} (\frac{\partial \sqrt{- gramo} L}{\partial (\partial_{pag} {gramo}^{metro norte})}) .

$\frac{1}{2}\sqrt{-g}\;T_{mn}\equiv \frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial g^{mn}}-\partial_p\left(\frac{\partial\sqrt{-g}\mathcal{L}}{\partial(\partial_p g^{mn})}\right).$

Integrando por partes $(3)$ , finalmente tenemos

\begin{matrix} (4) & d S = \int d^{4} X \sqrt{- gramo} ϵ^{norte} \nabla^{metro} T_{metro norte} = 0. \end{matrix}

$\delta S=\int d^4x\sqrt{-g}\;\epsilon^n\nabla^m T_{mn}=0.\tag{4}$

Entonces hay 4 corrientes conservadas covariantemente $(T_{m})_{n}$ asociado con 4 traducciones $\epsilon^n$ .

esto es general Para su caso particular, el segundo término en $(1)$ desaparecerá

Actualizar: $\nabla^m T_{mn}=0$ significa que el tensor tensión-energía, en términos generales, sólo se conserva si tomamos una porción de espacio-tiempo suficientemente pequeña (es decir, localmente), donde la curvatura es insignificante. En ese caso, los símbolos de Christoffel se desvanecerían y $\nabla^m T_{mn}$ reduciría a una ley de conservación adecuada $\partial^m T_{mn}=0$ . La conservación adecuada también es posible siempre que haya vectores Killing, como enfatizan Jerry Schirmer y Qmechanic.

¿Por qué la traducción no tiene ningún efecto en los campos mismos? Y también, estoy un poco confundido ahora ya que otras respuestas implican que se pierde la simetría de traducción y aún pareces aplicarla.
Las traducciones afectan otros campos y generan los términos correspondientes, pero esos términos se cancelarán debido a las ecuaciones de movimiento, por lo que es suficiente considerar la variación con respecto a la métrica. En cuanto a la segunda pregunta, actualicé la respuesta.

jerry schirmer · Answer 2

No tienes simetría de traducción en general. Necesita tener un vector Killing traslacional de la métrica para hacer esto. Si asumes esto, entonces $L_{v}\sqrt{|g|} = 0$ (Lo siento, ni \pounds \textsterling ni \mathsterling funcionan en nuestra versión de MathJax, me refiero a la derivada de la mentira con respecto al vector traslacional asesino), y la prueba habitual funciona, de lo contrario, la falta de homogeneidad de la métrica mata al noether cargar.

La métrica que me interesa (Rindler) tiene un vector asesino $\partial_t$ pero ¿cómo me ayuda esto a hacer la prueba habitual? pd: creo que \mathcal{} funciona

qmecanico · Answer 3

OP pregunta cómo aplicar el primer teorema de Noether :

¿Cómo encontramos el tensor de energía-momento como carga de Noether para traslaciones en espacios curvos?

El problema es que al asumir una variedad de espacio-tiempo curva genérica ( $M,g$ ), hemos perdido la simetría traslacional que disfrutábamos en el espacio de Minkowski $\mathbb{R}^{3,1}$ . No hay almuerzo gratis. Como se dijo en la respuesta de Jerry Schirmer, necesitamos una simetría Killing para construir una carga/cantidad conservada en el caparazón.
Sin embargo, todavía podemos definir el tensor simétrico de tensión-energía-momento (SEM) de Hilbert $T^{\mu\nu}$ . La invariancia del difeomorfismo conduce a través del primer o segundo teorema de Noether (Ref. 1 y la respuesta de Kosm usa el segundo teorema) a
$\begin{matrix} (A) & \nabla_{m} T^{m v} \overset{metro}{\approx} 0 \end{matrix}$ $\nabla_{\mu} T^{\mu\nu}~\stackrel{m}{\approx}~0 \tag{A}$ para una métrica arbitraria $g_{\mu\nu}$ , cf. mi respuesta Phys.SE aquí . [Aquí el $\stackrel{m}{\approx}$ símbolo significa igualdad módulo materia eom. La conexión $\nabla$ es la conexión Levi-Civita.]
Es importante darse cuenta de que, en general, no hay cargas/cantidades conservadas en el caparazón asociadas con eq. (A), cf. esta publicación Phys.SE. Todavía necesitamos una simetría Killing.

Referencias:

RM Wald, GR, Apéndice E.1.

¡Gracias por la amplia respuesta con muchos enlaces relevantes! Ahora entiendo que no debería intentar probar la teoría de Noeth, sino construir $T^{\mu\nu}$ tal que es covariantemente constante y simétrico y luego lo contrae con vectores asesinos. Queda una pregunta: ¿hay alguna derivación "bien conocida" para $T^{\mu\nu}$ como el otro cargo de difeomorfismo porque no puedo encontrarlo (¿o la respuesta de Kosm es exactamente esa?) pd: sé lo que $T^{\mu\nu}$ es por construcción, solo quiero vincularlo a una simetría...

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