Tensor de energía-momento de Dirac Lagrangiano transformado

Question

Tensor de energía-momento de Dirac Lagrangiano transformado

Física
teoría de campo
teorema de noethers
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tensión-energía-momentum-tensor

johani

Considere el Dirac Lagrangiano estándar, $\mathcal{L}=\overline{\psi}\left(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m\right)\psi$ , y una transformada que difiere por una derivada total

L^{'} = L - \frac{i}{2} \partial_{m} (\bar{ψ} γ^{m} ψ) .

$\mathcal{L}'=\mathcal{L}-\frac{i}{2}\partial_{\mu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right).$

Se puede demostrar que el tensor de energía-momento calculado a partir del Lagrangiano de Dirac es $T^{\mu\nu}=i\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi$ . Dado eso, debería ser posible probar que el tensor de energía-momento calculado a partir de $\mathcal{L}'$ es dado por $T'^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\partial^{\nu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)$ .

Estaba tratando de hacerlo pero no puedo terminarlo. Estoy usando la fórmula estándar para el tensor de energía-momento,

T^{m v} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ψ)} \partial^{v} ψ - η^{m v} L

$T^{\mu\nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\left(\partial_{\mu}\psi\right)}\partial^{\nu}\psi-\eta^{\mu\nu}\mathcal{L}$

y haciendo,

\begin{array}{ll} T^{' m v} & = \frac{i}{2} \bar{ψ} γ^{m} \partial^{v} ψ - η^{m v} (L - \frac{i}{2} \partial_{m} (\bar{ψ} γ^{m} ψ)) \\ = T^{m v} - \frac{i}{2} \bar{ψ} γ^{m} \partial^{v} ψ + \frac{i}{2} \partial^{v} (\bar{ψ} γ^{m} ψ) \\ = T^{m v} + \frac{i}{2} (\partial^{v} \bar{ψ}) γ^{m} ψ \\ = ? \end{array}

$\begin{array}{ll} T'^{\mu\nu} & =\frac{i}{2}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\eta^{\mu\nu}\left(\mathcal{L}-\frac{i}{2}\partial_{\mu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)\right)\\ & =T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi+\frac{i}{2}\partial^{\nu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)\\ & =T^{\mu\nu}+\frac{i}{2}\left(\partial^{\nu}\overline{\psi}\right)\gamma^{\mu}\psi\\ & =? \end{array}$

Editar:

Siguiendo la sugerencia de @Quantum spaghettification, obtengo

\begin{array}{ll} T^{' m v} & = \frac{\partial L^{'}}{\partial (\partial_{m} ψ)} \partial^{v} ψ + \frac{\partial L^{'}}{\partial (\partial_{m} \bar{ψ})} \partial^{v} \bar{ψ} - η^{m v} L^{'} \\ = \frac{i}{2} \bar{ψ} γ^{m} \partial^{v} ψ - \frac{i}{2} γ^{m} ψ \partial^{v} \bar{ψ} - η^{m v} (L - \frac{i}{2} \partial_{m} (\bar{ψ} γ^{m} ψ)) \\ = T^{m v} - \frac{i}{2} \bar{ψ} γ^{m} \partial^{v} ψ - \frac{i}{2} γ^{m} ψ \partial^{v} \bar{ψ} + \frac{i}{2} \partial^{v} (\bar{ψ} γ^{m} ψ) \\ = T^{m v} - \frac{i}{2} γ^{m} ψ \partial^{v} \bar{ψ} + \frac{i}{2} (\partial^{v} \bar{ψ}) γ^{m} ψ \\ = ? \end{array}

$\begin{array}{ll} T'^{\mu\nu} & =\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\left(\partial_{\mu}\psi\right)}\partial^{\nu}\psi+\frac{\partial\mathcal{L}'}{\partial\left(\partial_{\mu}\overline{\psi}\right)}\partial^{\nu}\overline{\psi}-\eta^{\mu\nu}\mathcal{L}'\\ & =\frac{i}{2}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\frac{i}{2}\gamma^{\mu}\psi\partial^{\nu}\overline{\psi}-\eta^{\mu\nu}\left(\mathcal{L}-\frac{i}{2}\partial_{\mu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)\right)\\ & =T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\overline{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\frac{i}{2}\gamma^{\mu}\psi\partial^{\nu}\overline{\psi}+\frac{i}{2}\partial^{\nu}\left(\overline{\psi}\gamma^{\mu}\psi\right)\\ & =T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\gamma^{\mu}\psi\partial^{\nu}\overline{\psi}+\frac{i}{2}\left(\partial^{\nu}\overline{\psi}\right)\gamma^{\mu}\psi\\ & =? \end{array}$

qmecanico

Para empezar, piense en: 1. Cómo

ψ

$\psi$ y

\bar{ψ}

$\bar{\psi}$ están relacionados. 2. Derivadas izquierda y derecha y ordenación de campos impares de Grassmann.

johani

@Qmechanic Todavía no he aprendido lo que mencionas en (2). ¿No puedo hacerlo solo con álgebra?

Respuestas (2)

Tensor de energía-momento de Dirac Lagrangiano transformado

Para empezar, piense en: 1. Cómo $\psi$ y $\bar{\psi}$ están relacionados. 2. Derivadas izquierda y derecha y ordenación de campos impares de Grassmann.
@Qmechanic Todavía no he aprendido lo que mencionas en (2). ¿No puedo hacerlo solo con álgebra?

giorgio comitini · Answer 1

No importa la naturaleza anticonmutación de los campos de Dirac: si está atascado en este problema, probablemente no llegó allí de todos modos. solo define $T^{\mu\nu}$ como

T^{m v} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ψ)} \partial^{v} ψ + \partial^{v} \bar{ψ} \frac{\partial L}{\partial_{m} \bar{ψ}} - η^{m v} L

$T^{\mu\nu}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\psi)}\ \partial^{\nu}\psi+\partial^{\nu}\bar{\psi}\ \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial_{\mu}\bar{\psi}}-\eta^{\mu\nu}\, \mathcal{L}$

Esta es la forma específica del tensor escrito en la respuesta de Alguien para el caso del campo de Dirac. Observe el orden de los factores en el segundo término: $\bar{\psi}$ es un vector fila, por lo que debe escribirse a la izquierda. La definición en la respuesta de Q. spaghettification pasó por alto esto, de lo contrario, es lo mismo que eso.

Ahora, su primera definición era simplemente incorrecta. En la edición, la definición era correcta aparte del orden en el segundo término. En cuanto a la tercera línea en su edición, hay un error: debería decir

T^{' m v} = T^{m v} - \frac{i}{2} \bar{ψ} γ^{m} \partial^{v} ψ - \frac{i}{2} (\partial_{v} \bar{ψ}) γ^{m} ψ + \frac{i}{2} η^{m v} \partial_{σ} (\bar{ψ} γ^{σ} ψ) (⋆)

$T'^{\mu\nu}=T^{\mu\nu}-\frac{i}{2}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\frac{i}{2}(\partial_{\nu}\bar{\psi})\gamma^{\mu}\psi+\frac{i}{2} \eta^{\mu\nu} \partial_{\sigma}(\bar{\psi}\gamma^{\sigma}\psi)\quad (\star)$

porque los índices de la matriz gamma y derivada en último término están saturados: no los puedes contraer con los de la métrica. Ahora, los términos segundo y tercero son la derivada que buscas:

- \frac{i}{2} \bar{ψ} γ^{m} \partial^{v} ψ - \frac{i}{2} (\partial_{v} \bar{ψ}) γ^{m} ψ = - \frac{i}{2} \partial_{v} (\bar{ψ} γ^{m} ψ)

$-\frac{i}{2}\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial^{\nu}\psi-\frac{i}{2}(\partial_{\nu}\bar{\psi})\gamma^{\mu}\psi=-\frac{i}{2}\partial_{\nu}(\bar{\psi}\gamma^{\mu}\psi)$

En cuanto al último término, usa las ecuaciones de Dirac para escribir

i \partial_{σ} (\bar{ψ} γ^{σ} ψ) = \bar{ψ} (i γ^{σ} \partial_{σ} ψ) + (i \partial_{σ} \bar{ψ} γ^{σ}) ψ = metro \bar{ψ} ψ - metro \bar{ψ} ψ = 0

$i\partial_{\sigma}(\bar{\psi}\gamma^{\sigma}\psi)=\bar{\psi}(i\gamma^{\sigma}\partial_{\sigma}\psi)+(i\partial_{\sigma}\bar{\psi}\gamma^{\sigma})\psi=m\bar{\psi}\psi-m\bar{\psi}\psi=0$

En caso de que no lo supieras, la ecuación de Dirac para $\bar{\psi}$ es

i \partial_{σ} \bar{ψ} γ^{σ} = - metro \bar{ψ}

$i\partial_{\sigma}\bar{\psi}\gamma^{\sigma}=-m\bar{\psi}$

Como el último término en $(\star)$ es cero y el segundo y tercer término forman la divergencia, obtuviste tu resultado.

Gracias por ayudarme a entender. Un par de comentarios: no entiendo muy bien la razón de cambiar el orden en ese segundo término para el caso del campo de Dirac (tomaré eso para continuar e intentaré saber por qué más adelante); Supongo que esto nunca sucede para los campos escalares, pero ¿podría suceder cuando trabajamos con un Lagrangiano para el $\overrightarrow{A}$ ¿campo? En cuanto al último término, supuse que no podría usar los mismos índices, pero como no tenía ideas lo dejé pasar... Gracias.
Sin una razón profunda. Solo mire la definición de Alguien (que es válida para cualquier tipo de campo, ya sea escalar, espinor, vector, etc.) y tenga en cuenta que estamos trabajando con números. $\partial^{\nu}\phi_{i}$ , al ser un número (dependiente de la posición), conmuta con la derivada del Lagrangiano, por lo que puedes invertir libremente el orden de los factores. El campo de Dirac es un vector complejo con 4 componentes, por lo que realmente debería escribirlo como $\psi_{i}$ , con $i=1,\dots,4$ . Lo mismo es cierto de $\bar{\psi}_{i}$ . Sin embargo, ...
... cuando escribe la expresión en forma implícita (p. ej. $\sum_{i}\bar{\psi}_{i}\psi_{i}=\bar{\psi}\psi$ ) el vector fila ( $\bar{\psi}$ ) debe escribirse a la izquierda, mientras que el vector columna ( $\psi$ ) debe escribirse a la derecha. Esto es lo mismo que la simple multiplicación de matrices. no escribirías $\psi\bar{\psi}$ , porque esto no le daría un número, le daría una matriz de 4x4.
Sucede por $n$ -tuplas de campos escalares también, si dejas los índices implícitos: escribirías $\Phi^{\dagger}\Phi$ , no $\Phi\Phi^{\dagger}$ .

Cham · Answer 2

El tensor canónico general de energía-momento está definido por estos componentes:

\begin{matrix} (1) & T^{m v} = \frac{\partial L}{\partial (\partial_{m} ϕ_{i})} \partial^{v} ϕ_{i} - η^{m v} L, \end{matrix}

$\tag{1} T^{\mu\nu}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial (\partial_{\mu}\phi_i )}\partial^{\nu}\phi_i-\eta^{\mu\nu}\mathcal{L},$ dónde

ϕ_{i}

$\phi_i$ son todos los componentes independientes de los campos en el juego. Desde el Dirac

ψ

$\psi$ tiene 8 números reales (4 componentes complejos), también necesita agregar las contribuciones de

\bar{ψ}

$\overline{\psi}$ .

Además, es muy importante recordar que el tensor canónico de energía-momento está definido hasta una divergencia $\partial_{\alpha} \, \Theta^{\alpha \mu \nu}$ , dónde $\Theta^{\alpha \mu \nu} = -\, \Theta^{\mu \alpha \nu}$ . Esto le da la posibilidad de encontrar una versión simétrica de $T^{\mu \nu}$ sin cambiar la física (energía total y cantidad de movimiento en los campos).

Tenga en cuenta que su lagrangiano:

L = \bar{ψ} (i γ^{m} \partial_{m} - metro) ψ,

$\mathcal{L}=\overline{\psi}\left(i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}-m\right)\psi,$ no es un número real. Si bien no es realmente un problema, generalmente es preferible que la acción del campo se defina como un número real:

\begin{matrix} (2) & L_{r mi a yo} = \frac{i}{2} (\bar{ψ} γ^{m} (\partial_{m} ψ) - (\partial_{m} \bar{ψ}) γ^{m} ψ) - metro \bar{ψ} ψ . \end{matrix}

$\tag{2} \mathcal{L_{\mathrm{real}}}= \frac{i}{2} \Big( \, \overline{\psi} \, \gamma^{\mu} \,(\partial_{\mu} \, \psi \,) - (\partial_{\mu} \, \overline{\psi} \,) \, \gamma^{\mu} \, \psi \, \Big) - m \, \overline{\psi} \, \psi.$

Entonces, la energía-momento simétrica completa es

\begin{matrix} (3) & T^{m v} = \frac{i}{4} (\bar{ψ} γ^{m} (\partial^{v} ψ) + \bar{ψ} γ^{v} (\partial^{m} ψ) - (\partial^{m} \bar{ψ}) γ^{v} ψ - (\partial^{v} \bar{ψ}) γ^{m} ψ) \end{matrix}

$\tag{3} T^{\mu \nu} = \frac{i}{4} \Big( \, \overline{\psi} \, \gamma^{\mu} \, (\partial^{\nu} \, \psi \,) + \overline{\psi} \, \gamma^{\nu} \, (\partial^{\mu} \, \psi \,) - (\partial^{\mu} \, \overline{\psi} \,) \, \gamma^{\nu} \, \psi - (\partial^{\nu} \, \overline{\psi} \,) \, \gamma^{\mu} \, \psi \, \Big)$

Explique cómo llega a este tensor de energía-momentum, ya que probé lo mismo y obtuve lo que pasa en mi edición.
@johani, desafortunadamente, el procedimiento de simetrización es bastante largo e involucra muchas manipulaciones algebraicas con las matrices gamma. Es un buen ejercicio, ¡pero es difícil!

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