Teorema de Noether e Invariancia del Lagrangiano bajo traducción

Question

Teorema de Noether e Invariancia del Lagrangiano bajo traducción

SRS

Considere un sistema de coordenadas en el que el punto A tiene coordenadas $z_0$ y el punto B tiene coordenada $z$ donde hay una partícula de masa $m$ . Sea un campo gravitacional constante de la Tierra. El Lagrangiano de una partícula en este sistema está dado por

L = \frac{1}{2} metro ({\dot{X}}^{2} + {\dot{y}}^{2} + {\dot{z}}^{2}) - metro gramo (z - z_{0})

$L=\frac{1}{2}m(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-mg(z-z_0)$ donde la energía potencial del punto B se mide con el punto A. Ahora considere un sistema de coordenadas diferente donde el origen se desplaza desde

x = y = z = 0

$x=y=z=0$ a

x = y = 0, z = α

$x=y=0,z=\alpha$ . En esta coordenada, A tiene coordenada

z_{0} + α

$z_0+\alpha$ y B tiene coordenada

z + α

$z+\alpha$ . Por lo tanto, aunque la coordenada $z$ no es cíclico , el lagrangiano permanece invariante bajo traslación en el

z

$z$ dirección. Por lo tanto, por el teorema de Noether, la cantidad de movimiento

p_{z}

$p_z$ debe ser conservado. Pero como sabemos, este no es el caso debido al campo gravitatorio constante a lo largo

z

$z$ -dirección. ¿No es esto una contradicción?

una mente curiosa

Si tu

z_{0}

$z_0$ es un punto fijo , entonces no se actúa sobre él mediante la traducción . Por definición, una transformación de simetría solo puede actuar sobre las variables dinámicas, no sobre las constantes, por lo que su Lagrangiano no es invariante.

SRS

A es un punto fijo.

z_{0}

$z_0$ es la etiqueta de coordenadas de A que cambiará bajo el cambio de sistema de coordenadas. No entiendo tu punto. Piense en un sistema de coordenadas y tradúzcalo.

SRS

Aquí estoy hablando de traducir el sistema de coordenadas, no la partícula en sí. Si cambié la ubicación de la partícula B, entonces sí, tienes razón.

una mente curiosa

Tienes que ver qué es una transformación para el teorema de Noether: es una transformación de las variables dinámicas . Su traducción del sistema de coordenadas no cumple los requisitos técnicos previos del teorema de Noether.

SRS

Bueno. Ahora esto tiene sentido para mí. Es cierto que si una coordenada es cíclica, el momento lineal correspondiente se conserva (como se puede ver en la ecuación de Euler-Lagrange). ¿También es cierto lo contrario? Quiero decir, ¿puede el lagrangiano ser invariante bajo

q_{i} \to q_{i} + α

$q_i\rightarrow q_i+\alpha$ sin

q_{i}^{'} s

$q_i's$ ser cíclico? ¿O debería publicarlo como una pregunta diferente?

ZachMcDargh

@SRS Ese es simplemente el significado de "cíclico".

SRS

Estaba pensando en un escenario matemático diferente (y buscando una realización física) en el que el Lagrangiano se conserva bajo traducción sin que la coordinación sea cíclica. Por ejemplo, ¿no podemos tener dos variables dinámicas diferentes

x

$x$ y

y

$y$ , apareciendo en el potencial como alguna función de

f (x - y)

$f(x-y)$ ? Si este es el caso, tampoco

x

$x$ , ni

y

$y$ será cíclico. Sin embargo, el lagrangiano

L

$L$ será invariante bajo

x \to x + α

$x\rightarrow x+\alpha$ y

y \to y + α

$y\rightarrow y+\alpha$ .

Respuestas (1)

Teorema de Noether e Invariancia del Lagrangiano bajo traducción

Si tu $z_0$ es un punto fijo , entonces no se actúa sobre él mediante la traducción . Por definición, una transformación de simetría solo puede actuar sobre las variables dinámicas, no sobre las constantes, por lo que su Lagrangiano no es invariante.
A es un punto fijo. $z_0$ es la etiqueta de coordenadas de A que cambiará bajo el cambio de sistema de coordenadas. No entiendo tu punto. Piense en un sistema de coordenadas y tradúzcalo.
Aquí estoy hablando de traducir el sistema de coordenadas, no la partícula en sí. Si cambié la ubicación de la partícula B, entonces sí, tienes razón.
Tienes que ver qué es una transformación para el teorema de Noether: es una transformación de las variables dinámicas . Su traducción del sistema de coordenadas no cumple los requisitos técnicos previos del teorema de Noether.
Bueno. Ahora esto tiene sentido para mí. Es cierto que si una coordenada es cíclica, el momento lineal correspondiente se conserva (como se puede ver en la ecuación de Euler-Lagrange). ¿También es cierto lo contrario? Quiero decir, ¿puede el lagrangiano ser invariante bajo $q_i\rightarrow q_i+\alpha$ sin $q_i's$ ser cíclico? ¿O debería publicarlo como una pregunta diferente?
Estaba pensando en un escenario matemático diferente (y buscando una realización física) en el que el Lagrangiano se conserva bajo traducción sin que la coordinación sea cíclica. Por ejemplo, ¿no podemos tener dos variables dinámicas diferentes $x$ y $y$ , apareciendo en el potencial como alguna función de $f(x-y)$ ? Si este es el caso, tampoco $x$ , ni $y$ será cíclico. Sin embargo, el lagrangiano $L$ será invariante bajo $x\rightarrow x+\alpha$ y $y\rightarrow y+\alpha$ .

qmecanico · Answer 1

ACuriousMind ya ha señalado en comentarios el punto crucial: $z_0$ es un parámetro externo, no una variable dinámica de la acción $S[x,y,z]$ .
OP luego reflexiona en un comentario qué sucede si promovemos artificialmente $z_0$ a una variable dinámica de la acción $S[x,y,z,z_0]$ ? No importa, esto posiblemente no tenga sentido físico. ¿ Cuáles serían las consecuencias matemáticas del teorema de Noether ?
Bien, investiguemos. las traducciones
$z ⟶ z + α, z_{0} ⟶ z_{0} + α$ $z ~\longrightarrow ~ z+\alpha, \qquad z_0 ~\longrightarrow ~ z_0+\alpha$ es de hecho una simetría exacta fuera de la cáscara de la acción $S[x,y,z,z_0]$ . El teorema de Noether establece que la carga de Noether correspondiente ${pag}_{z} := \frac{\partial L}{\partial \dot{z}}$ $p_z~:=~\frac{\partial L}{\partial \dot{z}}$ se conserva en la concha $\frac{d {pag}_{z}}{d t} \approx 0.$ $\frac{dp_z}{dt}~\approx~0.$ [Aquí el $\approx$ símbolo significa igualdad módulo eom.]
El único problema es que el eom para $z_0$ lee
$0 \approx \frac{d S}{d z_{0}} = metro gramo,$ $0~\approx~\frac{\delta S}{\delta z_0}~=~mg,$ es decir, si queremos poner el sistema en el caparazón, ¡tendríamos que apagar la gravedad! Y luego $p_z$ se conservaría en la concha. Por lo tanto no se viola el teorema de Noether.

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