Demostrar la conservación de la energía usando el teorema de Noether

Question

Demostrar la conservación de la energía usando el teorema de Noether

Turbotanten

Me pregunto cómo demuestras que la energía se conserva bajo una traducción de tiempo usando el teorema de Noether. Yo mismo lo he intentado pero sin éxito. Lo que se me ha ocurrido hasta ahora es que empiezo induciendo la siguiente transformación de simetría

\begin{aligned} h_{s} : & q \to h_{s} (q (t)) = q (t) \\ {\hat{h}}_{s} : & \dot{q} (t) \to {\hat{h}}_{s} (\dot{q} (t)) = \dot{q} (t) \\ t \to t^{'} = t + s ϵ \end{aligned}

$\begin{align} \mathrm{h}_s:\ &q \rightarrow \mathrm{h}_s(q(t)) = q(t)\\ \hat{\mathrm{h}}_s:\ &\dot{q}(t) \rightarrow \hat{\mathrm{h}}_s(\dot{q}(t)) = \dot{q}(t)\\ &t \rightarrow t^\prime = t+s\epsilon \end{align}$

h_{s}

$\mathrm{h}_s$ es una simetría del Lagrangiano si:

L (h_{s} (q (t)), {\hat{h}}_{s} (\dot{q} (t)), t^{'}) = L (X, \dot{X}, t) + \frac{d}{dt} F_{s}

$L(\mathrm{h}_s(q(t)),\hat{\mathrm{h}}_s(\dot{q}(t)),t^\prime) = L(x,\dot{x},t) + \frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}F_s$ Luego derivo con respecto a

s

$s$ y busca mínimo.

\frac{\partial}{\partial s} (L (h_{s} (q (t)), {\hat{h}}_{s} (\dot{q} (t)), t^{'}) - \frac{d}{dt} F_{s}) = 0

$\frac{\partial}{\partial s}\Big(L(\mathrm{h}_s(q(t)),\hat{\mathrm{h}}_s(\dot{q}(t)),t^\prime) - \frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}F_s\Big)=0$ Encuentro que la derivada es

\frac{\partial L}{\partial h_{s} (q (t))} \frac{h_{s} (q (t))}{\partial s} + \frac{\partial L}{\partial {\hat{h}}_{s} (\dot{q} (t))} \frac{{\hat{h}}_{s} (\dot{q} (t))}{\partial s} + \frac{\partial L}{\partial t^{'}} \frac{\partial t^{'}}{\partial s} - \frac{d}{dt} \frac{\partial F_{s}}{\partial s} = 0

$\frac{\partial L}{\partial \mathrm{h}_s(q(t))}\frac{\mathrm{h}_s(q(t))}{\partial s}+\frac{\partial L}{\partial \hat{\mathrm{h}}_s(\dot{q}(t))}\frac{\hat{\mathrm{h}}_s(\dot{q}(t))}{\partial s}+\frac{\partial L}{\partial t^\prime}\frac{\partial t^\prime}{\partial s}- \frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\frac{\partial F_s}{\partial s}=0$

\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial t^{'}} ϵ - \frac{d}{dt} \frac{\partial F_{s}}{\partial s} = \frac{\partial L}{\partial t} \frac{d t}{d t^{'}} ϵ - \frac{d}{dt} \frac{\partial F_{s}}{\partial s} = \frac{\partial L}{\partial t} ϵ - \frac{d}{dt} \frac{\partial F_{s}}{\partial s} = 0

$\Rightarrow \frac{\partial L}{\partial t^\prime}\epsilon-\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\frac{\partial F_s}{\partial s} = \frac{\partial L}{\partial t}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{dt^\prime}}\epsilon -\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\frac{\partial F_s}{\partial s} = \frac{\partial L}{\partial t}\epsilon -\frac{\textrm{d}}{\textrm{dt}}\frac{\partial F_s}{\partial s} = 0$ Aquí está la parte donde me quedo atascado. No sé qué hacer a continuación. Estoy tratando de encontrar mi carga de Noether que corresponde a una traducción de tiempo para ser el hamiltoniano. ¿Hay una manera más fácil o mejor de hacer esto? ¡Por favor, enséñame, me muero por aprender!

Encontré este libro, Lanczos, Los principios variacionales de la mecánica, página 401 , que muestra explícitamente la conservación de la energía usando el teorema de Noether. Tú Parece que no puedo seguir el paso de la ecuación 7 a la 8. ¿Puede alguien explicarme por qué el entero se ve así? ¿Taylor amplió la expresión de alguna manera?

una mente curiosa

Su transformación es la incorrecta para la "traducción del tiempo". Qmechanic explica aquí por qué y da la derivación correcta. (Las otras respuestas también valen la pena leer)

Turbotanten

Gracias por la ayuda, pero hay una parte en la derivación que no entiendo -> "La corriente (desnuda) de Noether (multiplicada con ϵ) se convierte en...". Parece que no puedo encontrar en qué parte de wiki se indica la corriente desnuda de Noether.

una mente curiosa

No se indica en Wiki como "desnudo" (porque Wiki no considera cuasi-simetrías, es decir, aquellas que solo dejan la invariante de Lagrange hasta la derivada total). La corriente de Noether "desnuda" es la corriente si la transformación es una simetría del Lagrangiano , mientras que la corriente de Noether "completa" es la corriente desnuda + las contribuciones de los términos de contorno de la derivada total.

Turbotanten

Okey, entonces en mi caso el

F_{s}

$F_s$ ¿El término corresponde a las contribuciones de los términos de frontera y el resto es lo que usted llamaría corriente de Noether "desnuda"? Estoy muy confundido en este momento.

Respuestas (2)

Demostrar la conservación de la energía usando el teorema de Noether

Su transformación es la incorrecta para la "traducción del tiempo". Qmechanic explica aquí por qué y da la derivación correcta. (Las otras respuestas también valen la pena leer)
Gracias por la ayuda, pero hay una parte en la derivación que no entiendo -> "La corriente (desnuda) de Noether (multiplicada con ϵ) se convierte en...". Parece que no puedo encontrar en qué parte de wiki se indica la corriente desnuda de Noether.
No se indica en Wiki como "desnudo" (porque Wiki no considera cuasi-simetrías, es decir, aquellas que solo dejan la invariante de Lagrange hasta la derivada total). La corriente de Noether "desnuda" es la corriente si la transformación es una simetría del Lagrangiano , mientras que la corriente de Noether "completa" es la corriente desnuda + las contribuciones de los términos de contorno de la derivada total.
Okey, entonces en mi caso el $F_s$ ¿El término corresponde a las contribuciones de los términos de frontera y el resto es lo que usted llamaría corriente de Noether "desnuda"? Estoy muy confundido en este momento.

qmecanico · Answer 1

Comentarios a la publicación de OP (v4):

OP está tratando de demostrar a través del teorema de Noether que ninguna dependencia temporal explícita del Lagrangiano conduce a la conservación de energía.
La transformación de OP parece ser una traducción de tiempo infinitesimal horizontal pura
$\begin{matrix} (A) & t^{'} - t =: d t = - ϵ, (variación horizontal) \end{matrix}$ $\tag{A} t^{\prime} - t ~=:~\delta t ~=~-\epsilon, \qquad \text{(horizontal variation)}$ $\begin{matrix} (B) & q^{' i} (t) - q^{i} (t) =: d_{0} q^{i} = 0, (sin variación vertical) \end{matrix}$ $\tag{B} q^{\prime i}(t) - q^i(t)~=:~\delta_0 q^i ~=~0, \qquad \text{(no vertical variation)}$ $\begin{matrix} (C) & q^{' i} (t^{'}) - q^{i} (t) =: d q^{i} = - ϵ \dot{q} . (variación completa) \end{matrix}$ $\tag{C} q^{\prime i}(t^{\prime}) - q^i(t)~=:~\delta q^i ~=~-\epsilon\dot{q}. \qquad \text{(full variation)}$ Se explica en mi respuesta Phys.SE aquí por qué esta transformación (A) - (C) no se puede usar para probar la conservación de la energía.
En la ec. (1) en la pág. 401, la ref. 1 en cambio está considerando la siguiente transformación infinitesimal
$\begin{matrix} (A') & t^{'} - t =: d t = - ϵ, (variación horizontal) \end{matrix}$ $\tag{A'} t^{\prime} - t ~=:~\delta t ~=~-\epsilon, \qquad \text{(horizontal variation)}$ $\begin{matrix} (B') & q^{' i} (t) - q^{i} (t) =: d_{0} q^{i} = ϵ \dot{q}, (variación vertical) \end{matrix}$ $\tag{B'} q^{\prime i}(t) - q^i(t)~=:~\delta_0 q^i ~=~\epsilon\dot{q}, \qquad \text{(vertical variation)}$ $\begin{matrix} (C') & q^{' i} (t^{'}) - q^{i} (t) =: d q^{i} = 0. (variación completa) \end{matrix}$ $\tag{C'} q^{\prime i}(t^{\prime}) - q^i(t)~=:~\delta q^i ~=~0. \qquad \text{(full variation)}$ Esta es la misma transformación infinitesimal que la Sección IV en mi Phys.SE respuesta aquí , excepto por el hecho de que $\epsilon\equiv\alpha$ se permite que sea una función del tiempo $t$ . Por lo tanto, la variación de la acción $S\equiv A$ no es necesariamente cero, sino de la forma $\begin{matrix} (8) & d S = \int d t j \frac{d ϵ}{d t}, \end{matrix}$ $\tag{8} \delta S ~=~\int\! dt ~j \frac{d\epsilon}{dt},$ donde la corriente desnuda de Noether $j=h$ es la función de energía, cf. ec. (8) en la pág. 402 en ref. 1. El $t$ -dependencia en $\epsilon$ está relacionado con el truco de Noether explicado en esta publicación de Phys.SE. Esto, a su vez, se puede unir en una prueba de la conservación de energía en el caparazón. $\begin{matrix} (9) & \frac{d h}{d t} \approx 0, \end{matrix}$ $\tag{9}\frac{dh}{dt}~\approx~0,$ cf. ec. (9) en la pág. 402 en ref. 1.

Referencias:

C. Lanczos, Los principios variacionales de la mecánica, 1970; Apéndice II.

AlgunosFísicaEstudiante · Answer 2

La forma más fácil de hacer esto es simplemente considerar una transformación genérica, G, tal que las coordenadas canónicas del hamiltoniano se desplacen como se muestra a continuación:

d pag = \frac{\partial GRAMO}{\partial q} d λ

$\delta p = \frac{\partial G}{\partial q} \delta \lambda$ y

d q = - \frac{\partial GRAMO}{\partial pag} d λ,

$\delta q = - \frac{\partial G}{\partial p} \delta \lambda\,,$

dónde $\lambda$ es el parámetro de transformación que determina la cantidad de transformación que desea aplicar.

Ahora, considere un pequeño cambio en el hamiltoniano, $H(p,q)$ :

\frac{\partial H}{\partial λ} = \frac{\partial H}{\partial q} \frac{d q}{d λ} + \frac{\partial H}{\partial pag} \frac{d pag}{d λ}

$\frac{\partial H}{\partial \lambda} = \frac{\partial{H}}{\partial q}\frac{\mathrm dq}{\mathrm d\lambda} + \frac{\partial{H}}{\partial p}\frac{\mathrm dp}{\mathrm d\lambda}$

(^ suponga un hamiltoniano independiente del tiempo).

Ahora usando la transformación anterior, vemos que:

\frac{\partial H}{\partial λ} = - {H, GRAMO} = - \frac{d GRAMO}{d t}

$\frac{\partial H}{\partial \lambda} = -\{H, G\} = -\frac{\mathrm dG}{\mathrm dt}$

donde los corchetes utilizados son corchetes de Poisson.

Por lo tanto, si el hamiltoniano es invariante bajo transformación continua, entonces $G$ es una carga conservada.

si dejamos $G=H$ , entonces es fácil ver que porque $\{H,H\}=0$ entonces $\frac{\mathrm dH}{\mathrm dt}=0$ .

Espero que esto ayude :)

Demostrar la conservación de la energía usando el teorema de Noether

Turbotanten

una mente curiosa

Turbotanten

una mente curiosa

Turbotanten

Respuestas (2)

qmecanico

AlgunosFísicaEstudiante

¿Explicación intuitiva de por qué la simetría del tiempo implica la conservación de la energía?

Teorema de Noether: forma de transformación infinitesimal

Problema con el Teorema de Noether para demostrar que la energía se conserva

¿Se sigue la conservación del Wronskiano del principio de Noether?

Energía total en sistemas reonómicos

¿Se puede entender intuitivamente el teorema de Noether?

¿Cuál es el significado del parámetro en el teorema de Noether?

¿Importa un factor constante en la definición de la corriente de Noether?

Teorema de Noether para hamiltonianos y lagrangianos

Sin cargo por Lagrangiano con derivadas de orden superior