Falta de índice de Maslov en el formalismo de la integral de trayectoria

Question

Falta de índice de Maslov en el formalismo de la integral de trayectoria

Física
integral de trayectoria
semiclásico
rotación de mecha
física-matemática
determinantes funcionales

Ladrillo Cuántico

Introducción

Considere la famosa fórmula de la integral de trayectoria de Feynman

k (X_{a}, X_{b}) = \int D [X (t)] Exp [\frac{i}{ℏ} \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t L (X (t), \dot{X} (t), t)],

$\begin{equation} K(x_a,x_b) = \int \mathcal{D}[x(t)] \exp \left[ \frac{i}{\hbar} \int_{t_a}^{t_b} dt \, \mathcal{L}(x(t),\dot{x}(t),t) \right] \, , \end{equation}$

donde el $\mathcal{D}[x(t)]$ representa la matemáticamente problemática "suma sobre caminos" y $x_a \equiv x(t_a)$ , $x_b \equiv x(t_b)$ . El límite semiclásico de la expresión anterior, que se puede definir como el límite $\hbar \to 0$ , se puede aproximar por el método del punto de silla y da como resultado

k_{S C} (X_{a}, X_{b}) = {(\frac{1}{2 π i ℏ})}^{- \frac{norte}{2}} \sum_{b r a norte C h mi s} | det \frac{\partial X_{b}}{\partial {pag}_{a}} |^{- \frac{norte}{2}} Exp [\frac{i}{ℏ} S (X_{a}, X_{b}, t)],

$\begin{equation} K_{SC}(x_a,x_b) = \left( \frac{1}{2 \pi i \hbar} \right)^{-\frac{n}{2}} \sum_{branches} \bigg| \det \frac{\partial x_b}{\partial p_a} \bigg|^{-\frac{n}{2}}\exp \left[\frac{i}{\hbar} S(x_a,x_b,t) \right] \, , \end{equation}$

dónde $SC$ significa semiclásico , $S$ es la acción clásica, $n$ es la mitad de la dimensión del espacio de fase, $p_a$ es el impulso inicial y la suma es sobre todas las "ramas" parcheadas por puntos donde $\dot{x}(t)=0$ (estos puntos son ejemplos de lo que llamamos cáusticos ). Ahora, numerosos estudios realizados por físicos en el pasado han establecido que esta fórmula no puede ser correcta para todos los tiempos, incluso para hamiltonianos cuadráticos, donde la aproximación semiclásica debería ser exacta. La razón rigurosa de esto se expuso por primera vez en (1) y tiene que ver con la teoría de la cohomología: el parcheo de las subvariedades lagrangianas entre las cáusticas va acompañado de un salto en el mapeo del cuadrado del determinante, que está intrínsecamente relacionado con el índice de Morse (o Maslov). actuando sobre el Lagrangiano Grassmanniano.

Ahora, dado que el propagador semiclásico se puede derivar de formalismos más rigurosos que la integral de trayectoria, la forma adecuada de $K_{SC}$ ha sido obtenida por Gutzwiller (2) y justificada rigurosamente por muchos otros matemáticos (ver (1) nuevamente). Es

k_{S C} (X_{a}, X_{b}) = {(\frac{1}{2 π i ℏ})}^{- \frac{norte}{2}} \sum_{b r a norte C h mi s} | det \frac{\partial X_{b}}{\partial {pag}_{a}} |^{- \frac{norte}{2}} Exp [\frac{i}{ℏ} S (X_{a}, X_{b}, t) - \frac{i π v}{2}],

$\begin{equation} K_{SC}(x_a,x_b) = \left( \frac{1}{2 \pi i \hbar} \right)^{-\frac{n}{2}} \sum_{branches} \bigg| \det \frac{\partial x_b}{\partial p_a} \bigg|^{-\frac{n}{2}}\exp \left[\frac{i}{\hbar} S(x_a,x_b,t) - \frac{i \pi \nu}{2} \right] \, , \end{equation}$

dónde $\nu$ es el índice de Maslov, relacionado con la clase de cohomología de las trayectorias consideradas. Este es un resultado célebre llamado fórmula de Gutzwiller .

Pregunta

Si consideramos puntos $x_a$ y $x_b$ dónde $p$ es una función de un solo valor de $x$ , entonces el determinante en $K_{SC}$ no tiene saltos, estamos lejos de las cáusticas y el índice de Maslov es cero. Ahora si $p$ tiene varios valores, tenemos que tener en cuenta las ramas, que creo que no se pueden derivar directamente de la integral de trayectoria de Feynman. Esto significa que para todos y cada uno de los sistemas en los que las trayectorias clásicas tienen un grupo de cohomología no trivial, la integral de trayectoria es incorrecta. Ahora bien, el ejemplo más ridículo de eso sería el oscilador armónico, cuyo propagador cuántico exacto (idéntico a su aproximación semiclásica, porque el hamiltoniano es cuadrático) se puede ver aquí . Ahora bien, si tengo razón en mi razonamiento, entonces este propagador está equivocado. Revisé Feynman & Hibbs y hay una nota al pie que dice que este propagador es realmente incorrecto durante mucho tiempo, es decir, después de que el impulso tiene una cáustica. Se refieren a un artículo que prácticamente adivina la respuesta correcta (3).

Mi pregunta es: ¿ se puede derivar la fórmula adecuada de Gutzwiller a partir de la integral de trayectoria de Feynman? Si este no es el caso, entonces todos y cada uno de los propagadores calculados a partir de la fórmula de la integral de trayectoria serán incorrectos para hamiltonianos con potenciales no lineales.

PD: Tengo la sensación de que esto está relacionado con el hecho de que incluso si los físicos dicen que "la integral de caminos suma sobre todos los caminos", no suma sobre caminos con diferentes clases de cohomología.

Referencias:

(1) Clase característica que ingresa en condiciones de cuantificación, por Vladimir Arnol'd

(2) Caos en Mecánica Clásica y Cuántica, por Martin Gutzwiller

(3) Propagador para el oscilador armónico simple, por Thorber y Taylor, American Journal of Physics

Tomás

Nunca investigué esto, pero hay alguna discusión sobre este tema en los libros de texto de Kleinert (sección 2.3.3) y Craichian y Demichev (sección 2.2.3). C&D parece afirmar que el índice de Maslov se puede obtener a partir del cálculo del determinante de fluctuación en el método estándar de Gelfand-Yaglom. Obviamente, sería perturbador si la integral de trayectoria de alguna manera pierde una contribución.

Ladrillo Cuántico

@Thomas Muchas gracias por las referencias. Eché un vistazo a Craichian y Demichev y concluí que aunque el método se puede aplicar (supuestamente, porque no confío mucho en su prueba) para encontrar el prefactor adecuado, esto no toca el tema de la integral de ruta. . ¿Tengo razón? Encontré otras referencias donde las personas obtienen el factor previo correcto para el SHO, pero esto es específico de cada caso y no usa la integración de rutas.

Respuestas (1)

Falta de índice de Maslov en el formalismo de la integral de trayectoria

Nunca investigué esto, pero hay alguna discusión sobre este tema en los libros de texto de Kleinert (sección 2.3.3) y Craichian y Demichev (sección 2.2.3). C&D parece afirmar que el índice de Maslov se puede obtener a partir del cálculo del determinante de fluctuación en el método estándar de Gelfand-Yaglom. Obviamente, sería perturbador si la integral de trayectoria de alguna manera pierde una contribución.
@Thomas Muchas gracias por las referencias. Eché un vistazo a Craichian y Demichev y concluí que aunque el método se puede aplicar (supuestamente, porque no confío mucho en su prueba) para encontrar el prefactor adecuado, esto no toca el tema de la integral de ruta. . ¿Tengo razón? Encontré otras referencias donde las personas obtienen el factor previo correcto para el SHO, pero esto es específico de cada caso y no usa la integración de rutas.

qmecanico · Answer 1

Además de una prueba completa de la fórmula de Gutzwiller en el contexto de la integral de ruta de Feynman (FPI), entonces OP esencialmente pregunta lo siguiente:

¿La FPI conoce la corrección metapléctica / índice de Maslov y las cáusticas?

Respuesta: Sí, el FPI contiene estos factores de fase semiclásicos.
En la práctica, deja
$\begin{matrix} (1) & Δ t_{METRO} := t_{F} - t_{i} > 0. \end{matrix}$ $\Delta t_M~:=~t_f-t_i~>~0.\tag{1}$ Para hacer que el FPI oscilatorio sea convergente, inserte el de Feynman $i\epsilon$ prescripción $\begin{matrix} (2) & Δ t_{METRO} \to Δ t_{METRO} - i ϵ . \end{matrix}$ $\Delta t_M\quad\to\quad\Delta t_M-i\epsilon.\tag{2}$ O de manera equivalente, Wick-rotate $\begin{matrix} (3) & Δ t_{mi} := i Δ t_{METRO}, \end{matrix}$ $\Delta t_E~:=~i\Delta t_M,\tag{3}$ dónde ${\rm Re}(\Delta t_E)>0$ . Aquí las letras $M$ y $E$ significa Minkowski y Euclid, respectivamente.
Supongamos por simplicidad que no hay instantones. La aproximación WKB/fase estacionaria produce para $\hbar \to 0$ :
$\begin{matrix} (4) & ⟨ q_{F}, t_{F} | q_{i}, t_{i} ⟩ = \int_{q (t_{i}) = q_{i}}^{q (t_{F}) = q_{F}} D q Exp (\frac{i}{ℏ} S) \overset{WKB}{\sim} \frac{Exp (\frac{i}{ℏ} S_{C yo})}{\sqrt{D mi t H}} . \end{matrix}$ $\langle q_f, t_f | q_i,t_i \rangle ~=~ \int_{q(t_i)=q_i}^{q(t_f)=q_f} \! {\cal D}q~\exp\left(\frac{i}{\hbar} S\right) ~\stackrel{\text{WKB}}{\sim}~ \frac{\exp\left(\frac{i}{\hbar} S_{\rm cl}\right)}{\sqrt{{\rm Det}H}}.\tag{4}$
La fórmula de Gelfand-Yaglom arroja que el determinante funcional viene dado por
$\begin{matrix} (5) & \frac{D mi t H}{D mi t H^{(0)}} = \frac{\prod_{norte \in norte} (1 - {(\frac{Δ t_{METRO}}{T_{norte}})}^{2})}{\prod_{norte \in norte} (1 - {(\frac{Δ t_{METRO}}{T_{norte}^{(0)}})}^{2})}, \end{matrix}$ $\frac{{\rm Det}H}{{\rm Det}H^{(0)}}~=~\frac{\prod_{n\in\mathbb{N}}\left(1- \left(\frac{\Delta t_M}{T_n}\right)^2\right)}{\prod_{n\in\mathbb{N}}\left(1- \left(\frac{\Delta t_M}{T_n^{(0)}}\right)^2\right)}, \tag{5}$ dónde $T_n$ denota los tiempos para los cáusticos. Aparecen al cuadrado debido a la simetría de reflexión del tiempo. el superíndice $(0)$ denota la teoría libre correspondiente con $T_n^{(0)}=\infty$ y $\begin{matrix} (6) & D mi t H^{(0)} = \frac{2 π i ℏ Δ t_{METRO}}{metro} . \end{matrix}$ ${\rm Det}H^{(0)}~=~ \frac{2\pi i\hbar\Delta t_M}{m} .\tag{6}$ Por eso $\begin{matrix} (7) & D mi t H \overset{(2) + (3)}{=} \frac{2 π i ℏ Δ t_{METRO}}{metro} \prod_{norte \in norte} (1 - \frac{Δ t_{METRO}}{T_{norte}}) (1 + \frac{Δ t_{METRO}}{T_{norte}}) . \end{matrix}$ ${\rm Det}H~\stackrel{(2)+(3)}{=}~ \frac{2\pi i\hbar\Delta t_M}{m} \prod_{n\in\mathbb{N}}\left(1- \frac{\Delta t_M}{T_n}\right)\left(1+ \frac{\Delta t_M}{T_n}\right) .\tag{7}$
El índice de Maslov viene de la siguiente manera (teniendo en cuenta que esta es una continuación analítica del tiempo euclidiano):
- Obtenemos un factor
  $\begin{matrix} (8) & Exp (- \frac{i π}{4}) \end{matrix}$ $\exp\left(-\frac{i\pi}{4}\right)\tag{8}$ en el FPI (4) de la ${\rm Det}H^{(0)}$ determinante (6).
- Tenga en cuenta que para $0<\Delta t_M < T_1$ , el producto infinito (7) es positivo y aún no hemos pasado ninguna cáustica. Sin embargo, para cada nuevo cáustico $T_n$ (eso $\Delta t_M$ pasa), el determinante funcional (7) desarrolla un nuevo valor propio negativo, y obtenemos otro factor
  $\begin{matrix} (9) & Exp (- \frac{i π}{2}) \end{matrix}$ $\exp\left(-\frac{i\pi}{2}\right)\tag{9}$ en el FPI (4). En otras palabras, el índice Morse de la arpillera pertinente se vuelve relevante.
Ejemplo. Considere el oscilador armónico cuántico (QHO) y con frecuencia característica
$\begin{matrix} (10) & \frac{2 π}{T} = ω = \sqrt{\frac{k}{metro}}, \end{matrix}$ $\frac{2\pi}{T}~=~\omega~=~\sqrt{\frac{k}{m}},\tag{10}$ y cáusticos $\begin{matrix} (11) & T_{norte} = norte \frac{T}{2} \end{matrix}$ $T_n ~=~n\frac{T}{2} \tag{11}$ por cada semiperíodo. En conjunto, el cruce cáustico induce el conocido factor de fase de corrección metapléctica
$\begin{matrix} (12) & Exp (- \frac{i π}{2} (\frac{1}{2} + [\frac{2 Δ t_{METRO}}{T}])), \end{matrix}$ $\exp\left(-\frac{i\pi}{2}\left(\frac{1}{2}+\left[\frac{2\Delta t_M}{T}\right]\right)\right),\tag{12}$ dónde $\left[x\right]$ denota la parte entera de $x$ .

Referencias:

RP Feynman & AR Hibbs, Mecánica Cuántica e Integrales de Trayectoria, 1965; Sección 3-11.
J. Polchinski, Teoría de cuerdas vol. 1, 1998; Apéndice A.

¡Gracias por su respuesta! Todavía estoy realmente interesado en la forma en que Gutzwiller extrajo el índice de Maslov de la integral de ruta. Su solución responde parcialmente a mis dudas con respecto al SHO, pero buscaba algo más general.

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