La teoría cuántica de campos es un tema amplio y tiene la reputación de utilizar métodos que son matemáticamente deseables. Por ejemplo, trabajar con y restar infinitos o el uso de integrales de ruta, que en general no tienen significado matemático (al menos no todavía), etc. Mi pregunta es un poco vaga, pero me interesa saber cuál es el estado del rigor en QFT. ¿Qué se sabe que es matemáticamente riguroso y consistente, qué se sabe que no es riguroso? Cualquier ejemplo y referencia son bienvenidos.
Agregado: solo para aclarar por riguroso quise decir cualquier cosa que un matemático encontraría satisfactoria. Además, mi pregunta no era para libros con un enfoque riguroso (en cierto sentido), aunque eso fue bienvenido. Se trataba de ejemplos específicos de lo que se considera matemáticamente satisfactorio y lo que no. Por ejemplo, la cuantificación de campos libres que satisfacen la ecuación de Klein-Gordon se puede realizar de forma rigurosa. No existe una definición matemática en general de la integral de trayectoria de Feynman, etc.
Tu declaración
trabajando y restando infinitos... que en general no tienen significado matemático
no es realmente correcto, y parece haber un malentendido común en él. Las dificultades técnicas de QFT no vienen de infinitos. De hecho, las ideas básicamente equivalentes a la renormalización y la regularización se han utilizado desde el comienzo de las matemáticas; consulte, por ejemplo, muchos artículos de Cauchy, Euler, Riemann, etc. De hecho, GH Hardy tiene un libro publicado sobre el tema de las series divergentes. :
http://www.amazon.com/Divergent-AMS-Chelsea-Publishing-Hardy/dp/0821826492
Incluso hay una rama completa de las matemáticas llamada "teoría de la integración" (de la cual cosas como la integración de Lebesgue son un subconjunto) que generaliza este tipo de problemas. Entonces, que aparezcan infinitos no es un problema en absoluto, en cierto sentido, aparecen por conveniencia.
Entonces, la idea de que los infinitos tienen algo que ver con hacer QFT axiomático no es correcta.
El problema real, desde un punto de vista más formal, es que "quieres" construir QFT a través de algún tipo de integral de ruta. Pero la integral de trayectoria, formalmente (es decir, para los matemáticos) es una integral (en el sentido general que aparece en temas como "teoría de la integración") sobre un espacio de función LCSC de dimensión infinita de aspecto bastante patológico.
Tratar de definir una medida razonable en un espacio funcional de dimensión infinita es problemático (y las propiedades generales de estos espacios no parecen entenderse particularmente bien). Te encuentras con problemas como que todos los conjuntos razonables sean "demasiado pequeños" para tener una medida, preocuparte por las medidas de conjuntos patológicos y preocuparte por las propiedades que debería tener tu medida, preocupándote si el " "el término es incluso una medida en absoluto, etc...
En el mejor de los casos, tratando de solucionar este problema, se encontraría con un problema como el que tiene en la definición de la integral de Lebesgue, donde define la integral y construye algunas propiedades matemáticamente interesantes, pero la mayor parte de su utilidad es permitirle abusar de Riemann. integral en la forma que querías. En realidad, calcular integrales a partir de la definición de la integral de Lebesgue no suele ser fácil. Esto realmente no es suficiente para atraer la atención de muchos físicos, ya que ya tenemos una definición que funciona, y conocer todas sus propiedades formales sería bueno, y ciertamente nos diría algunas cosas sorprendentes, pero no está claro que lo sea. sería tan útil en general.
Desde un punto de vista algebraico, creo que tiene problemas al tratar de definir productos divergentes de operadores que dependen del esquema de renormalización, por lo que necesita tener alguna familia de -álgebras que respetan el flujo del grupo de renormalización de la manera correcta, pero no parece que la gente haya tratado de hacer esto de una manera razonable.
Desde el punto de vista de la física, no nos importa nada de esto, porque podemos hablar de renormalización y exigir que nuestras respuestas tengan propiedades "físicamente razonables". También puedes hacer esto matemáticamente, pero los matemáticos no están interesados en obtener una respuesta razonable; lo que quieren es un conjunto de "axiomas razonables" de los que se derivan las respuestas razonables, por lo que están condenados a encontrarse con dificultades técnicas como las que mencioné anteriormente.
Formalmente, sin embargo, uno puede definir QFT que no interactúan e integrales de trayectoria mecánica cuántica. Probablemente sea el caso que definir formalmente un QFT esté al alcance de lo que podríamos hacer si realmente quisiéramos, pero no es un tema convincente para las personas que entienden cómo la renormalización fija las soluciones en soluciones físicamente razonables (físicos), y el los aspectos formales no se comprenden lo suficiente como para que sea algo que uno podría obtener el formalismo "gratis".
Entonces, mi impresión es que ni los físicos ni los matemáticos generalmente se preocupan lo suficiente como para trabajar juntos para resolver este problema, y no se resolverá hasta que se pueda hacer "gratis" como consecuencia de comprender otras cosas.
Editar:
También debo agregar brevemente que las CFT y las SCFT se definen matemáticamente con mucho más cuidado, por lo que una alternativa razonable a las ideas clásicas que mencioné anteriormente podría ser comenzar con una SCFT y definir una teoría de campo general como una especie de "pequeña" modificación. hecho de tal manera que se mantengan bien definidas las cosas correctas.
Primero: no hay una construcción rigurosa del modelo estándar, riguroso en el sentido de las matemáticas (y no, no hay mucha ambivalencia sobre el significado del rigor en las matemáticas).
Esas son muchas referencias que citó Daniel, trataré de clasificarlas un poco :-)
Axiomático (sinónimo: local o algebraico) QFT trata de formular axiomas para el punto de vista de Heisenberg (los estados son estáticos, los observables son dinámicos). Hay tres conjuntos de axiomas conocidos:
Aproximadamente, los axiomas de Wightman describen cómo los campos se relacionan con los observables, los axiomas de Osterwalder-Schrader son los axiomas de Wightman para la teoría del campo euclidiano y los axiomas de Haag-Kastler esquivan los campos por completo y describen los observables per se. Los tres conjuntos de axiomas son más o menos equivalentes, lo que significa que se ha demostrado la equivalencia, a veces con suposiciones adicionales que los físicos consideran irrelevantes.
"PCT, Spin and Statistics, and All That" fue la primera introducción a los axiomas de Wightman.
"Física cuántica local: campos, partículas, álgebras" es una introducción a los axiomas de Haag-Kastler, al igual que "Teoría matemática de los campos cuánticos".
"Electrodinámica cuántica perturbativa y teoría axiomática del campo" es una descripción de QED desde el punto de vista de los axiomas de Haag-Kastler.
"Introducción a la teoría algebraica y constructiva de campos cuánticos" trata sobre la cuantización de ecuaciones clásicas dadas en el espíritu de Haag-Kastler.
"Física cuántica: un punto de vista integral funcional" utiliza los axiomas de Osterwalder-Schrader.
La teoría del campo conforme 2D se puede axiomatizar utilizando los axiomas de Osterwalder-Schrader, por ejemplo.
La teoría del campo cuántico funcional axiomatiza el punto de vista de Schrödinger , véase, por ejemplo, hnLab en FQFT .
Esto incluye, por ejemplo, teorías cuánticas topológicas de campo, que describen esencialmente teorías con grados de libertad finitos. Esta rama ha tenido mucho impacto en las matemáticas, especialmente con respecto a la geometría diferencial, y aquí a la teoría de las variedades suaves 3D y 4D. yo pondría
Daniel S. Freed (Autor), Karen K. Uhlenbeck: "Geometría y teoría cuántica de campos"
en esta categoría.
"Geometría y Teoría Cuántica de Campos"
Cuantización de las teorías clásicas de campos : tenga en cuenta que los enfoques axiomáticos no dependen de las teorías clásicas de campos que deben cuantificarse, sino que abren las puertas para una construcción directa de sistemas cuánticos sin espejo clásico. El enfoque lagrangiano de QFT es un ejemplo de un ansatz que comienza con una teoría de campo clásica que debe cuantificarse, para lo cual se pueden utilizar diferentes medios.
Ticciati: "Teoría cuántica de campos para matemáticos" es en realidad una introducción bastante canónica a la QFT lagrangiana, sin más preámbulos.
Hay mucho material sobre la geometría de las teorías de campo clásicas y variantes para cuantificarlas, como la "cuantización geométrica".
El libro Welington de Melo, Edson de Faria: "Mathematical Aspects of Quantum Field Theory" es un ejemplo de ello.
Mucho más avanzado es "Quantum Fields and Strings: A Course for Mathematicians (2 vols)"
Para la integral de trayectoria hay dos puntos de vista:
La integral de ruta, junto con las reglas de Feynman, es un dispositivo de contabilidad para un juego llamado renormalización, que le permite calcular números de acuerdo con reglas arcanas,
la integral de trayectoria es una construcción matemática como una "medida", pero no una medida en el sentido de la teoría de la medida conocida hoy en día, que debe descubrirse y definirse adecuadamente.
AFAIK no ha habido mucho progreso con el segundo punto de vista, pero hay personas trabajando en ello, por ejemplo, los autores del libro "Mathematical Theory of Feynman Path Integrals: An Introduction". Puede encontrar mucho más material sobre la teoría matemática de las integrales de trayectoria en el nLab aquí .
Aquí está mi respuesta desde el punto de vista de la física de la materia condensada:
La teoría cuántica de campos es una teoría que describe el punto crítico y el vecino del punto crítico de un modelo de red. (Los modelos de celosía tienen una definición rigurosa).
Entonces, definir rigurosamente las teorías cuánticas de campos es encontrar su compleción UV.
Clasificar las teorías cuánticas de campos es clasificar todos los posibles puntos críticos de los modelos reticulares, lo cual es un proyecto muy importante y muy difícil.
(Uno puede reemplazar "modelo de celosía" en lo anterior por "modelo regulado no perturbativamente")
Hay varios libros que abordan la QFT (y/o la Teoría Gauge) desde diferentes niveles de 'rigor matemático' (para alguna definición de "rigor matemático" — que Moshe aprobaría ;-).
Entonces, permítanme darles una especie de 'lista preliminar'... de ninguna manera está completa, y tampoco está en un orden en particular, pero creo que puede allanar el camino para seguir trabajando.
En cualquier caso… hay mucho más por ahí, no solo en términos de temas (renormalización, etc.) sino también en términos de artículos, libros, etc.
Por lo tanto, hay mucho "rigor matemático" en QFT (y Teoría de Cuerdas, para el caso), incluidos diferentes "niveles" que deberían complacer y satisfacer diversos gustos.
PD: Hay otros temas aquí que tratan este tema de una forma u otra, por ejemplo, el teorema de Haag y los cálculos prácticos de QFT . Así que no seas tímido y echa un vistazo. :-)
La reputación de QFT de usar métodos que son matemáticamente erróneos no es realmente merecida en estos días. Ciertamente, no todo está bajo un control analítico perfecto, pero la situación no es mucho peor que en la dinámica de fluidos.
En particular, la 'resta de infinitos' ya no se considera un problema. Los matemáticos que lo han analizado recientemente (como Borcherds y Costello) básicamente han llegado a la conclusión de que la teoría del campo efectivo de Wilson resuelve estas dificultades. Puede hacer todos los cálculos únicamente en términos de cantidades "efectivas" de larga distancia, que son las cosas que quedan cuando los físicos restan infinitos. Por lo tanto, los infinitos de corta distancia no presentan un problema para definir funciones de correlación; no hay nada inconsistente en el formalismo básico de la integral de caminos.
Esta es realmente la misma conclusión a la que llegaron los teóricos del campo constructivo, estudiando ejemplos de dimensiones más bajas en los años 70 y 80.
El desafío en QFT riguroso es lidiar con las divergencias infrarrojas. Si su espacio-tiempo tiene un volumen infinito, entonces su sistema de campo puede tener grados de libertad de tamaño arbitrariamente grande. Acoplarse a estos grados de libertad puede darte infinitos. Aquí hay problemas matemáticos reales, pero se parecen más a describir las soluciones de una ecuación que a describir la ecuación en sí. (Pueden suceder cosas realmente no triviales. En QCD, por ejemplo, hay confinamiento: muchos de los observables que ingenuamente esperaría que fueran integrables con respecto a la medida integral de trayectoria, como el observable que representa un quark libre o un quark libre gluon -- no lo son. En cambio, los observables integrables son mezclas complicadas de quarks y gluones, como protones, neutrones y bolas de pegamento.) La mayor parte del trabajo pesado en Glimm & Jaffe, por ejemplo, medida integral de trayectoria, sino de probar que su Las funciones de correlación de puntos realmente existen.
Naturalmente, esto significa que la mayoría de los cálculos de los valores esperados observables, como en la teoría de calibre de celosía, no están bajo un estricto control analítico. La convergencia en la simulación es principalmente una cuestión de buen juicio, por ahora.
Decir algo rigurosamente sobre estas cosas seguramente requerirá que los matemáticos comprendan mejor la renormalización en entornos no perturbadores (es decir, en la red). Hay un buen número de matemáticos trabajando activamente en esto. Los geómetras y los topólogos se están volviendo más sofisticados en la teoría de campos topológicos, mientras que los analistas han adoptado la teoría estadística de campos.
Creo que todo es lo suficientemente riguroso cuando lo haces de acuerdo con las reglas matemáticas.
La trampa comienza cuando dicen: "La integral de la función delta al cuadrado, aunque parece infinita, debe determinarse a partir de los datos experimentales". Es divertido.
Una vez encontré un infinito similar en un problema más simple pero exactamente solucionable. Primero, quería hacer renormalizaciones (determinar el valor integral a partir de datos experimentales), pero afortunadamente logré elegir una mejor aproximación inicial y disminuir las correcciones perturbativas. Entonces el problema está en la aproximación inicial. Si es bueno , entonces las correcciones perturbativas son pequeñas . Por lo demás son grandes.
También encontré una explicación de por qué las restas (descartar correcciones) funcionan a veces. Desde mi punto de vista actual, el QFT necesita reformularse ya que está mal construido. QFT reformulado no necesita reparar sus soluciones sobre la marcha.
Me gustaría señalar que hay varios problemas diferentes que provienen de diferentes puntos de vista sobre el tema. Sería muy complicado comentarlos todos, así que me limitaré a uno en particular.
Como primera observación, debo señalar que nadie que trabaje en matemáticas puede tener dudas sobre lo que significa "riguroso". No voy a comentar sobre esto ya que parece que ya fue explicado de manera clara.
Con respecto a su pregunta, me gustaría afirmar que QFT no es una teoría "única", sino un grupo de varias teorías diferentes que están menos relacionadas entre sí debido a algunas descripciones intrínsecas. Por ejemplo, el "comportamiento" y la construcción de la teoría del campo escalar (real o complejo) y de la teoría de calibre es bastante diferente. Esta es una especie de consecuencia natural del hecho de que la Teoría Clásica de Campos (ClFT) (que es completamente rigurosa hasta cierto punto, aunque todavía contiene varios problemas no triviales) es también una colección de varias teorías diferentes, que comparten una geometría general. descripción, pero que tienen sus propias dificultades particulares: como un escenario particular de ClFT podemos obtener la mecánica clásica, el electromagnetismo o incluso la teoría de calibre no abeliana, etc. Permítanme agregar que la filosofía general que subyace a ClFT parece, en cierto sentido, como la única forma de construir extensiones relativistas de la situación libre, como una gran diferencia con la mecánica clásica, en la que se puede agregar cualquier restricción a una partícula libre sin romperla. cualquier principio fundamental de la teoría. Solo estoy reformulando lo que P. Deligne y D. Freed afirman en el primer volumen de "QFT and Strings for Mathematicians", que ya se mencionó.
Con respecto al problema de la cuantificación de cada una de las configuraciones particulares que puede considerar en ClFT, hay varios problemas que tratar. Permítanme considerar dos aspectos diferentes del problema: QFT perturbativo y no perturbativo. Podemos decir que el primero es (moralmente) una sombra del segundo. Además, la QFT perturbativa (pQFT) se puede desarrollar de manera matemáticamente rigurosa en muchas situaciones. Puede ver el artículo de R. Borcherds en arXiv "Renormalización y teoría cuántica de campos" (aunque algunas de las ideas ya estaban presentes en otros textos de la literatura y, en mi opinión, están al acecho detrás de algunas de las construcciones y pruebas del autor, ver por ejemplo los artículos de O. Steinmann, que también fueron considerados por R. Brunetti, K. Fredenhagen, etc.). En esta situación define de manera rigurosa un objeto que se comporta como la medida de Feynmann ("a través del teorema de Riesz"), y da una explicación muy completa de cómo debería describirse la pQFT en varias situaciones. Sin embargo, el problema sigue siendo dar una formulación correcta de QFT no perturbativo. Este es un problema importante, y solo se realizaron unas pocas construcciones rigurosas hasta la dimensión 2 (también la dimensión 3, pero realmente pocas hasta donde yo sé. Sería bueno escuchar a los expertos en este punto). Puede ver el libro de J. Glimm y A. Jaffe "Quantum physics – a Functional Integral Point View". De hecho, el principal problema surge al tratar de cuantificar la teoría de calibre, como una subcolección de situaciones de QFT. La falta de una imagen tan general significa, de hecho, que en realidad no sabemos cómo es realmente una Teoría de Medición de Campo Cuántico (o simplemente es, si lo desea). En particular (afirmo esto porque algunas personas argumentan que lo siguiente es consecuencia de tener solo una descripción perturbativa), dos afirmaciones importantes de los físicos sobre el modelo estándar (que en cierto sentido están relacionadas), la brecha de masa y el confinamiento de quarks, no están probados (el primero constituye de hecho uno de los Problemas del Premio del Milenio). Huelga decir que ninguno de los argumentos heurísticos físicos son claramente suficientes. dos afirmaciones importantes de los físicos sobre el modelo estándar (que en cierto sentido están relacionados), la brecha de masa y el confinamiento de quarks, no están probadas (la primera de hecho constituye uno de los Problemas del Premio del Milenio). Huelga decir que ninguno de los argumentos heurísticos físicos son claramente suficientes. dos afirmaciones importantes de los físicos sobre el modelo estándar (que en cierto sentido están relacionados), la brecha de masa y el confinamiento de quarks, no están probadas (la primera de hecho constituye uno de los Problemas del Premio del Milenio). Huelga decir que ninguno de los argumentos heurísticos físicos son claramente suficientes.
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