Si las integrales de trayectoria no están bien definidas, ¿cómo pueden tener algún significado físico?

Cuando dije que en realidad no hacemos integrales de ruta, lo que quise decir es que podemos hacer algunas integrales de ruta muy específicas y la forma en que las hacemos es más bien ad-hoc. En otras palabras, es muy poco trivial y no es sencillo. Para mostrar esto, haré una integral de ruta muy general para ti. (Ya había escrito la mayor parte de esto por otra razón).

La amplitud de transición de vacío para un conjunto de campos cuánticos denotados colectivamente por$\varphi(x)$viene dada por la integral de trayectoria

$$Z[0]:=\langle\text{VAC, out}|\text{VAC, in}\rangle=\int D\varphi\;\exp\left(i\int d^4x \,\mathcal{L}(\varphi)\right)$$ dónde $D\varphi$es la medida del camino $$D\varphi:=\prod_{x,\ell}d\varphi_\ell(x)$$ y $\ell$atropella componentes y especies. Dejar $A$ser un verdadero simétrico $N\times N$matriz y $x$y $J$ser vectores con $N$componentes Entonces tenemos la siguiente fórmula integral: $$\iint\dotsb\int dx_1dx_2\dotsb dx_N\,\exp\big((i/2)x^\text{T}Ax+iJ\cdot x\big)=\sqrt{\frac{(2\pi i)^N}{\text{det} \,A}}\exp\big(-(i/2)J^\text{T}A^{-1}J\big)$$ Ahora agreguemos a la integral del Lagrangiano en el exponente un término actual que escribiremos como la integral de $J\varphi$. Por ejemplo, en electromagnetismo esto sería $A\cdot J$con $A_\mu$el campo de fotones y $J_\mu$la corriente de 4 conservada. Esto define la función de partición , que es una funcional de la actual: $$Z[J]:=\int D\varphi\;\exp\left(i\int d^4x \,\big[\mathcal{L}(\varphi)+J\varphi\big]\right)$$ Ahora separamos el Lagrangiano en una parte cuadrática libre $\mathcal{L}_0$y una parte de interacción (posiblemente) más complicada $\mathcal{L}_1$: $$\mathcal{L}(\varphi)=\mathcal{L}_0(\varphi)+\mathcal{L}_1(\varphi)$$ Para nuestros propósitos, establecemos la interacción en cero: solo queremos estados de una sola partícula $^1$. Escribimos la integral de la parte cuadrática muy generalmente como $$\int d^4x\,\mathcal{L}_0=-\frac{1}{2}\int d^4x\,d^4y \sum_{\ell,m}\mathcal{D}_{\ell x,my}\varphi_\ell(x)\varphi_{m}(y)$$ y el término fuente como $$\int d^4x \,J\varphi=\int d^4x\, \sum_\ell J^\ell(x)\varphi_\ell(x)$$ Conectando esto a la función de partición $$Z[J]=\int D\varphi\;\exp\left(-\frac{i}{2}\int d^4x\,d^4y \sum_{\ell,m}\mathcal{D}_{\ell x,my}\varphi_\ell(x)\varphi_{m}(y)+i\int d^4x\, \sum_\ell J^\ell(x)\varphi_\ell(x)\right)$$ notamos que si pensamos en las integrales como sumas, obtenemos una integral múltiplo infinito en la forma anterior $^2$. Denote el inverso de $\mathcal{D}_{\ell x,my}$por $\Delta_{\ell m}(x,y)$. son inversas en el sentido de que $$\sum_{m}\int d^4y \,\mathcal{D}_{\ell x,my}\Delta_{mn}(y,z)=\delta^4(x-z)\delta_{\ell n}$$ La matriz $\Delta$se llama propagador. En ausencia de campos externos, la invariancia de traducción hará $\mathcal{D}$necesariamente sólo una función de $x-y$, que se puede escribir como una integral de Fourier $$\mathcal{D}_{mx,ny}:=(2\pi)^{-4}\int d^4p\, e^{ip\cdot(x-y)}\mathcal{D}_{mn}(p)$$ y la relación inversa es entonces $$\Delta_{mn}(x,y)=(2\pi)^{-4}\int d^4p\, e^{ip\cdot(x-y)}\mathcal{D}_{mn}^{-1}(p)$$ dónde $\mathcal{D}^{-1}(p)$es la matriz ordinaria inversa de $\mathcal{D}(p)$. Ahora podemos evaluar la $Z[J]$integral de trayectoria. El factor en el caso de dimensión finita se generaliza como $$\sqrt{\frac{(2\pi i)^N}{\text{det} \,A}}\longrightarrow \lim_{N\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{(2\pi i)^N}{\text{det} \,\mathcal{D}}}$$ La parte del numerador diverge y obviamente no tiene significado $^3$. El denominador puede parecer más interesante, pero no depende de los campos ni de las corrientes. A este factor lo llamamos global $\mathcal{C}$. El término en el exponente se generaliza como $$-(i/2)J^\text{T}A^{-1}J\longrightarrow \frac{i}{2}\sum_{mn}\int d^4x\,d^4y\, J^m(x)\Delta_{mn}(x,y)J^n(y)$$ (nótese el cambio de signo porque $\mathcal{D}$se define con un signo menos adicional). Poniendo todo esto junto, tenemos $$Z[J]=\mathcal{C}\exp\left(\frac{i}{2}\sum_{mn}\int d^4x\,d^4y\, J^m(x)\Delta_{mn}(x,y)J^n(y)\right)=\mathcal{C}\exp\big(iW[J]\big)$$ dónde $W[J]$es el funcional cuadrático $$W[J]:=\frac{1}{2}\sum_{mn}\int d^4x\,d^4y\, J^m(x)\Delta_{mn}(x,y)J^n(y)$$

---

1. La cuantificación de los términos de interacción conduce a los vértices de QFT.

2. Aquí$\mathcal{D}_{mx,ny}$se trata como una matriz muy vagamente. Lo que deberíamos hacer en realidad es introducir una red en el espacio-tiempo tal que las etiquetas$x$y$y$son discretos.

3. Creo que este término tiene significado en ciertas situaciones, pero no recuerdo ninguna en este momento.