¿Cómo determinar la traza y el determinante de un operador diferencial?

Cómo determinar la traza y el determinante del operador como ◻ o ∇ 2 etc. Pero antes que nada, cómo encontrar lo mismo para el operador más simple d d X ? Procedí de la siguiente manera. ¿Qué funciones base debo elegir? { mi i k X } o { d ( X − X ′ ) } ? Dado que la primera base es la base diagonal, el cálculo de la traza y el determinante será más fácil. El k k ′ -El elemento de la matriz viene dado por

∫ − ∞ ∞ mi − i k X d d X mi i k ′ X = 2 π i k d ( k − k ′ ) .
Ahora la tarea es determinar la traza y el determinante. Ya que, en caso discreto
∑ i , j A i j d i j = ∑ i A i i
da la traza de una matriz A. Entonces, ¿podemos encontrar la traza como
∫ d k ∫ d k ′ 2 π i k d ( k − k ′ ) .
¡Pero el resultado es infinito! ¿Es correcto este enfoque?

Editar : si no, indique el método correcto y el resultado esperado.

Su enfoque es bastante bueno (elija la base diagonal) y la divergencia es correcta, pero puede que no sea tan mala como parece (al menos si el contexto de esta pregunta es qft). Debe volver a normalizar, lo que significa que puede absorber la divergencia en algunos de los parámetros de la teoría. El ejemplo canónico de un cálculo como este que sugiero buscar es el potencial de Coleman-Weinberg (equivale a calcular tr(log(box+V'') donde V es un potencial).

Respuestas (2)

En dimensiones infinitas, puede definir la traza solo para una clase especial de operadores compactos : los llamados operadores de clase de traza. Dado un espacio de Hilbert H , el espacio de operadores de clase de rastreo I 1 ( H ) es un ideal bilateral de los operadores acotados L ( H ) .

Las dos operaciones T r y D mi t ( 1 + ⋅ ) definido de la siguiente manera:

T r : A ↦ T r ( A ) , D mi t ( 1 + ⋅ ) : A ↦ D mi t ( 1 + A ) ,
tienen las siguientes propiedades:

  • el primero es un funcional lineal acotado en I 1 ( H ) ;

  • la segunda es una función continua en I 1 ( H ) .

Los operadores que cita (todos ellos) son ilimitados . Por lo tanto, no puede esperar de ninguna manera que su rastro (o determinante) sea finito, porque es como esperar que ∑ norte = 0 ∞ norte es finito

Thai no es la idea utilizada por los físicos. Todos los operadores considerados no son compactos (a veces lo es su resolvente). Los procedimientos más populares se ocupan de algunos granos de calor o ζ -Procedimiento de regularización de funciones. De hecho si el resolvente es clase traza continúan analíticamente la traza de una potencia inversa del resolvente, como ocurre en la definición de la ζ función...
@ValterMoretti: Renormalización de un determinante det METRO de un operador ilimitado METRO consiste esencialmente en escribir el operador A como producto METRO = METRO 0 ( 1 + A ) dónde A es clase de rastreo y METRO 0 es conocida. Entonces det METRO = det METRO 0 + det ( 1 + A ) en cualquier regularización. El valor (en el límite infinito) det METRO 0 debe cancelar rigurosamente en todas las cantidades observables computadas a partir de esto, para que el procedimiento de regularización sea matemáticamente consistente. Esto reconcilia su punto de vista con la respuesta (correcta) de yuggib.
@ValterMoretti, ¿tendría una fuente razonablemente reciente y accesible sobre esto? El público objetivo es un estudiante de física de nivel superior con una formación matemática bastante buena.
Lo siento, no, dejé hace muchos años (15 más o menos cuando estaba en las primeras etapas de mi carrera) tratar estos temas. Escribí un libro (aspectos analíticos de los campos cuánticos) publicado por World Scientific con otros autores, pero sospecho que hoy en día hay fuentes mucho mejores.
@ArnoldNeumaier ¿Puede recomendar algo moderno y legible para un estudiante de física de último año con buena experiencia en matemáticas pero no en análisis funcional? Idealmente, se abordaría desde la perspectiva de la física en lugar de la perspectiva del teorema.
@ZeroTheHero: Piense (como lo hizo Heisenberg) en los operadores como matrices infinitas. La traza se define solo si la suma infinita de elementos diagonales converge absolutamente. Dado un operador, puede representarlo como una matriz infinita por medio de sus elementos de matriz en cualquier base ortonormal. Tal vez el Volumen 3 de Física Matemática de Thirring sea adecuado para presentarle el análisis funcional de la física cuántica, aunque no trata explícitamente el problema anterior.
@ArnoldNeumaier Haré que el estudiante busque a Thirring. El problema que tenemos es que nuestros operadores no son de clase de seguimiento, pero los estados físicos se concentran en una parte del espacio de Hilbert (un irrep de SU(1,1)), por lo que los resultados matemáticos no ayudarán y probablemente necesitemos usar algún argumento físico para encontrar (o no) una solución. La física sugiere que debería haber una solución, pero podría ser a través de una expansión de estados coherentes o algo similar (en lugar de la base de peso) para capturar esta característica de concentración.
@ZeroTheHero: agregué una respuesta con más detalles.

Renormalización de un determinante det METRO de un operador ilimitado METRO es invariablemente del siguiente tipo:

Básicamente consiste en escribir el operador A como producto METRO = METRO 0 ( 1 + A ) dónde A es clase de rastreo y METRO 0 es conocida. Entonces det METRO = det METRO 0 det ( 1 + A ) en cualquier regularización (es decir, representación por límites de operadores acotados). El valor (en el límite infinito) det METRO 0 debe cancelar rigurosamente en todas las cantidades observables computadas a partir de esto, para que el procedimiento de regularización sea matemáticamente consistente.

Por lo general, este factor infinito es el determinante de un sistema exactamente solucionable cuyo determinante de interés puede considerarse como una perturbación (relativamente compacta).

El libro '' Trazar ideales y sus aplicaciones '' de B. Simon analiza el procedimiento de regularización con cierto detalle en el Capítulo 9. (Pero para teorías de campo en más de 2 dimensiones, se necesita una renormalización más estricta que la discutida allí, para hacer A clase de seguimiento.)

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