Teorema de fluctuación-disipación y relaciones de Kramers-Kronig

Las relaciones de Kramers-Kronig pueden entenderse como un requisito de que$\operatorname{Re} \chi(\omega)$es una función par, mientras que$\operatorname{Im} \chi(\omega)$es una función extraña: vea esta respuesta y la Wikipedia vinculada allí.

El teorema general de fluctuación-disipación generalmente escrito como proporcionalidad entre el espectro de energía de fluctuación y la parte imaginaria de la función de respuesta de Fourier:

$$S_x(\omega) = \frac{2kT}{\omega}\operatorname{Im} \chi(\omega)$$ Mientras que la izquierda de la expresión anterior$S_x(\omega)=\langle x(\omega)x^*(\omega)\rangle$se interpreta fácilmente como parte de "fluctuación". No es del todo obvio que$\operatorname{Im} \chi(\omega)$está relacionado con "disipación". La derivación estándar a continuación utiliza los requisitos y enlaces de simetría de Kramers-Kronig$\operatorname{Im} \chi(\omega)$a la disipación del sistema.

Suponiendo que tenemos el observable$x(t)$, la fuerza externa estocástica$f(t)$y la función de respuesta$\chi(t)$están vinculados a través de:

$$x(t) = \int_{-\infty}^{\infty}d\tau\; \chi(t-\tau)f(\tau)$$

Queremos calcular la potencia disipada$f(t)\dot x(t)$bajo fuerza periódica$f(t) = A \cos\Omega t$. Para hacer eso, primero simplificamos la expresión para$\dot{x}(t)$. Tomando la derivada nos da factor$-i\omega$e integración sobre$\tau$da un doble-$\delta$transformada de fourier del coseno:

$$\dot{x}(t) = \int \frac{d\omega}{2\pi}(-i\omega) e^{-i\omega t}\chi(\omega) \pi A[\delta(\omega - \Omega) + \delta(\omega+\Omega)]$$

Integrando el$\delta$s obtendremos:

$$\dot{x}(t) =-iA\frac\Omega2\left[\chi(\Omega)e^{-i\Omega t} - \chi(-\Omega)e^{i\Omega t} \right]$$

Ahora multiplicamos por$f(t)$y el promedio de un período:

$$\langle W\rangle = \frac{\Omega}{2\pi}\int_0^{2\pi/\Omega}dt\;f(t)\dot{x}(t) = -\frac{i A^2\Omega}{4} \left[\chi(\Omega) - \chi(-\Omega)\right] = \frac12 A^2\Omega\operatorname{Im}\chi(\Omega)$$ En la última igualdad hemos usado esa parte real de$\chi(\omega)$es par, mientras que imaginario es impar.
este enlace$\operatorname{Im} \chi(\omega)$a la disipación utilizando las relaciones de Kramers-Kronig.