Densidad espectral de las fluctuaciones (ruido blanco/proceso correlacionado delta)

Question

Densidad espectral de las fluctuaciones (ruido blanco/proceso correlacionado delta)

ruido
Física
funciones de correlación
mecánica estadística
fluctuación-disipación

Lopey alto

Sea I la corriente que fluye a través de alguna unión como resultado de N portadores de carga q. Y deja $\langle I (t) \rangle$ sea su promedio.

Suponga una distribución del número de partículas tal que su fluctuación esté dada por $\langle (\Delta N)^2 \rangle=\langle N\rangle$ .

Entonces $\langle I\rangle = q \langle N \rangle$ y por definición de la función de correlación $K_I(\tau)=\langle (\Delta I)^2 \rangle$ (dónde $\tau$ ser la diferencia horaria $t' - t$ ) tenemos

k_{F} (τ) = q ⟨ I ⟩

$K_f(\tau)= q \langle I\rangle$

Simplificando esto viene del hecho de que los portadores de carga fluyen de forma aleatoria e independiente. Así que usamos lo siguiente:

Deje que la densidad espectral de las fluctuaciones se defina como la transformada de Fourier de la función de correlación $K_f(\tau)$

S_{I} (ω) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} k_{F} (τ) {mi}^{i ω τ} d τ

$S_I(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{- \infty}^{\infty} K_f(\tau) e^{i \omega \tau} d\tau$

La naturaleza aleatoria e independiente del sistema significa que este es un proceso delta correlacionado, donde tenemos $S_f(\omega)= constant = S_f(0)$ ,

de modo que a través de una transformada inversa de Fourier tenemos

\begin{array}{rcl} k_{I} (τ) & = & 2 π S_{I} (0) d (τ) \\ = & 2 π (\frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{\infty} k_{F} (τ) {mi}^{i 0 τ} d τ) d (τ) \\ = & \int_{- \infty}^{\infty} k_{F} (τ) d τ d (τ) \\ = & k_{F} (0) d (τ) \end{array}

$\begin{eqnarray} K_I(\tau) &=& 2\pi S_I(0) \delta(\tau) \\ &=& 2 \pi \bigg(\frac{1}{2\pi} \int_{- \infty}^{\infty} K_f(\tau) e^{i 0 \tau} d\tau \bigg) \delta(\tau) \\ &=& \int_{- \infty}^{\infty} K_f(\tau) d\tau \delta(\tau) \\ &=& K_f(0) \delta(\tau) \\ \end{eqnarray}$

Estoy tratando de entender si este próximo paso que doy es legítimo:

¿No podría reorganizar la primera línea de la ecuación anterior para decir

\begin{array}{rcl} k_{I} (τ) & = & 2 π S_{I} (0) d (τ) \\ q ⟨ I ⟩ & = & 2 π S_{I} (0) d (τ) \\ \frac{q ⟨ I ⟩}{2 π d (τ)} & = & S_{I} (0) \end{array}

$\begin{eqnarray} K_I(\tau) &=& 2\pi S_I(0) \delta(\tau) \\ q \langle I\rangle &=& 2\pi S_I(0) \delta(\tau) \\ \frac{q \langle I\rangle}{2\pi \delta(\tau)} &=& S_I(0) \end{eqnarray}$

Espero que esto sea más claro ahora.

Mi motivación detrás de la pregunta original.

si , para una cantidad media $\langle I \rangle$ , hace

\frac{⟨ I ⟩}{d (τ)} = I

$\frac{\langle I \rangle}{\delta(\tau)} = I$

haría

S_{I} (ω) = S_{I} (0) = \frac{q ⟨ I ⟩}{2 π d (τ)}

$S_I(\omega)=S_I(0)= \frac{q \langle I \rangle}{2 \pi \delta(\tau)}$ o

S_{I} (ω) = S_{I} (0) = \frac{q ⟨ I ⟩}{d (τ)}

$S_I(\omega)=S_I(0)= \frac{q \langle I \rangle}{\delta(\tau)}$

es que sé que la respuesta es

S_{I} = q I

$S_I = q I$

sin promedio $\langle I \rangle$ o $2\pi$ .

hyportnex

por lo general es lo suficientemente malo como para multiplicar con

δ (\cdot)

$\delta(\cdot)$ pero dividirse con él es una completa tontería

Andrés

También tenga en cuenta que las unidades no son consistentes en la ecuación

⟨ I ⟩ / δ (τ) = I

$\langle I \rangle / \delta(\tau) = I$ , desde

δ (τ)

$\delta(\tau)$ tiene unidades de 1/tiempo. Creo que necesitamos un poco más de detalle sobre lo que quieres calcular.

Lopey alto

Cómo

δ (τ)

$\delta(\tau)$ tiene unidades de tiempo? No sabía que una distribución como la delta de Dirac pudiera tener unidades @Andrew

Andrés

\int d τ δ (τ) = 1

$\int {\rm d} \tau \delta(\tau)=1$ , y

d τ

${\rm d} \tau$ tiene unidades de tiempo, entonces

δ (τ)

$\delta(\tau)$ debe tener unidades de 1/tiempo. También puede ver esto desde la regla de escala

δ (a x) = 1 / a δ (x)

$\delta(a x)=1/a\delta(x)$ .

Lopey alto

@Andrew Ya veo! gracias. ok permítame editar la pregunta para ser más detallada

Lopey alto

@Andrew editado ahora

Andrés

Todavía me cuesta seguir. Para mí, la notación es muy poco clara. Hace

⟨ \cdot ⟩

$\langle \cdot \rangle$ se refieren al promedio a lo largo del tiempo? Si es así, ¿por qué

q ⟨ I ⟩

$q \langle I \rangle$ depende del tiempo? Cuál es la diferencia entre

K_{f}

$K_f$ y

K_{I}

$K_I$ ? Es

q

$q$ la carga de un portador de carga, o la carga total transportada a través de la unión en algún período de tiempo? Creo que ayudaría a reescribir la pregunta, teniendo mucho cuidado de definir toda la notación.

Lopey alto

¡En efecto! Yo soy yo (t). Hay N portadores de carga con q carga cada uno.

K_{f}

$K_f$ es una ecuación genérica, la correlación de una cantidad f(t),

K_{I}

$K_I$ Es con

f = I

$f=I$ .

papi kropotkin

Es

δ

$\delta$ una distribución delta o representa una variación? ¿O tal vez lo estás usando en ambos sentidos?

Lopey alto

@N.Steinle Cambié todas mis variaciones a triángulos deltas para ser más claros.

honeste_vivere

Cuando integras, la función delta desaparece automáticamente. Asi es como funciona. Está destinado a ser utilizado en una integral para definir el valor de alguna función sin importar cuál sea la integral (suponiendo que el valor esté dentro de los límites de la integración). Así que no veo cómo la función delta sobrevivió a la integración de

K_{f}

$K_{f}$ .

Lopey alto

@honeste_vivere ¡Veo tu punto! tu comentario equivale a

K_{I} (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} K_{f} (τ) d τ δ (τ) = K_{f} (0) δ (τ)

$K_I(\tau) = \int_{- \infty}^{\infty} K_f(\tau) d\tau \delta(\tau) = K_f(0) \delta(\tau)$ es incorrecto y debería serlo,

K_{I} (τ) = \int_{- \infty}^{\infty} K_{f} (τ) d τ δ (τ) = K_{f} (0)

$K_I(\tau) = \int_{- \infty}^{\infty} K_f(\tau) d\tau \delta(\tau) = K_f(0)$ ?

honeste_vivere

Sí, eso es lo que quise decir.

Lopey alto

@honeste_vivere gracias!

Andrés

Solo una nota sobre la notación: debe escribir

\int_{- \infty}^{\infty} K_{f} (τ) δ (τ) d τ

$\int_{-\infty}^\infty K_f(\tau) \delta(\tau) d\tau$ , no

\int_{- \infty}^{\infty} K_{f} (τ) d τ δ (τ)

$\int_{-\infty}^\infty K_f(\tau) d\tau \delta(\tau)$ . El

δ (τ)

$\delta(\tau)$ es parte del integrando. También por curiosidad, ¿cuál es la diferencia entre

K_{I} (τ)

$K_I(\tau)$ y

K_{f} (τ)

$K_f(\tau)$ ?

Lopey alto

@honeste_vivere, siéntase libre de escribir una respuesta para la recompensa :)

Adán

El problema es que usas

τ

$\tau$ como una variable de integración (ficticia), lo que lo ha confundido. deberías haber escrito

\int K (τ^{'}) d τ^{'} δ (τ)

$\int K(\tau') d\tau' \delta(\tau)$ , que no es igual a

K (0)

$K(0)$ (ni por supuesto

K (0) δ (τ)

$K(0)\delta(\tau)$ ).

Respuestas (1)

Densidad espectral de las fluctuaciones (ruido blanco/proceso correlacionado delta)

por lo general es lo suficientemente malo como para multiplicar con $\delta(\cdot)$ pero dividirse con él es una completa tontería
También tenga en cuenta que las unidades no son consistentes en la ecuación $\langle I \rangle / \delta(\tau) = I$ , desde $\delta(\tau)$ tiene unidades de 1/tiempo. Creo que necesitamos un poco más de detalle sobre lo que quieres calcular.
Cómo $\delta(\tau)$ tiene unidades de tiempo? No sabía que una distribución como la delta de Dirac pudiera tener unidades @Andrew
$\int {\rm d} \tau \delta(\tau)=1$ , y ${\rm d} \tau$ tiene unidades de tiempo, entonces $\delta(\tau)$ debe tener unidades de 1/tiempo. También puede ver esto desde la regla de escala $\delta(a x)=1/a\delta(x)$ .
@Andrew Ya veo! gracias. ok permítame editar la pregunta para ser más detallada
Todavía me cuesta seguir. Para mí, la notación es muy poco clara. Hace $\langle \cdot \rangle$ se refieren al promedio a lo largo del tiempo? Si es así, ¿por qué $q \langle I \rangle$ depende del tiempo? Cuál es la diferencia entre $K_f$ y $K_I$ ? Es $q$ la carga de un portador de carga, o la carga total transportada a través de la unión en algún período de tiempo? Creo que ayudaría a reescribir la pregunta, teniendo mucho cuidado de definir toda la notación.
¡En efecto! Yo soy yo (t). Hay N portadores de carga con q carga cada uno. $K_f$ es una ecuación genérica, la correlación de una cantidad f(t), $K_I$ Es con $f=I$ .
Es $\delta$ una distribución delta o representa una variación? ¿O tal vez lo estás usando en ambos sentidos?
@N.Steinle Cambié todas mis variaciones a triángulos deltas para ser más claros.
Cuando integras, la función delta desaparece automáticamente. Asi es como funciona. Está destinado a ser utilizado en una integral para definir el valor de alguna función sin importar cuál sea la integral (suponiendo que el valor esté dentro de los límites de la integración). Así que no veo cómo la función delta sobrevivió a la integración de $K_{f}$ .
@honeste_vivere ¡Veo tu punto! tu comentario equivale a $K_I(\tau) = \int_{- \infty}^{\infty} K_f(\tau) d\tau \delta(\tau) = K_f(0) \delta(\tau)$ es incorrecto y debería serlo, $K_I(\tau) = \int_{- \infty}^{\infty} K_f(\tau) d\tau \delta(\tau) = K_f(0)$ ?
Solo una nota sobre la notación: debe escribir $\int_{-\infty}^\infty K_f(\tau) \delta(\tau) d\tau$ , no $\int_{-\infty}^\infty K_f(\tau) d\tau \delta(\tau)$ . El $\delta(\tau)$ es parte del integrando. También por curiosidad, ¿cuál es la diferencia entre $K_I(\tau)$ y $K_f(\tau)$ ?
@honeste_vivere, siéntase libre de escribir una respuesta para la recompensa :)
El problema es que usas $\tau$ como una variable de integración (ficticia), lo que lo ha confundido. deberías haber escrito $\int K(\tau') d\tau' \delta(\tau)$ , que no es igual a $K(0)$ (ni por supuesto $K(0)\delta(\tau)$ ).

roger vadim · Answer 1

Creo que su definición de la función de correlación es incorrecta y de ahí se deriva mucha confusión. Si $I(t)$ es un proceso aleatorio (es decir, una variable que cambia aleatoriamente en el tiempo), entonces podemos definir:

Promedio/media : $\langle I(t)\rangle$
Fluctuación (que también es un proceso aleatorio, pero con media cero): $\Delta I(t) = I(t) - \langle I(t)\rangle$
Varianza : $Var(I(t)) = \langle (\Delta I(t))^2\rangle$
Función de correlación : $K(t,t_1)=\langle \Delta I(t)\Delta I(t_1)\rangle$

En muchas situaciones, se puede argumentar que el proceso aleatorio es estacionario , es decir, sus momentos, como la media y la varianza, no dependen del tiempo, mientras que la función de correlación depende solo de la diferencia de tiempos:

k (τ) = ⟨ Δ I (t + τ) Δ I (t) ⟩

$K(\tau) = \langle \Delta I(t+\tau)\Delta I(t)\rangle$ Obviamente, la varianza es el valor de la función de correlación en tiempos iguales o, para un proceso estacionario:

V a r (I) = k (0) = ⟨ (Δ I)^{2} ⟩,

$Var(I) = K(0) = \langle(\Delta I)^2\rangle,$ que es lo que debería haber sido la primera ecuación en la pregunta original.

@LopeyTall Igualas la varianza con la función de correlación: $K_I(\tau)=\langle(\Delta I)^2\rangle$ . Una es una constante, la otra es una función del tiempo.

Densidad espectral de las fluctuaciones (ruido blanco/proceso correlacionado delta)

Lopey alto

hyportnex

Andrés

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Andrés

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